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목록(9차) 기하와 벡터 문제 풀이/이차곡선 (72)
수악중독
좌표평면에서 원 \(x^2+y^2=4\)와 타원 \(\dfrac{x^2}{4}+y^2=1\) 에 대하여 점 \((3, \;1)\) 을 지나고 기울기가 \(m\) 인 직선이 원과 만나는 점의 \(x\) 좌표를 원소로 하는 집합을 \(A\), 타원과 만나는 점의 \(x\) 좌표를 원소로 하는 집합을 \(B\) 라 하자. 집합 \(A \cup B\) 의 원소의 개수가 \(3\)이 되도록 하는 모든 \(m\) 의 값의 합은? ① \(\dfrac{6}{5}\) ② \(\dfrac{7}{5}\) ③ \(\dfrac{11}{5}\) ④ \(\dfrac{12}{5}\) ⑤ \(\dfrac{13}{5}\) 더보기 정답 ④
그림과 같이 두 점 \(\rm F, \;F'\) 을 초점으로 하고 중심이 원점이 쌍곡선과 점 \(\rm F\) 를 중심으로 하고 점 \(\rm F'\) 을 지나는 원이 만나는 점 중 제\(1\)사분면의 점을 \(\rm P\), 제\(2\)사분면의 점을 \(\rm Q\) 라고 하자. \(\angle \rm F'FP=120^{\rm o}\) 일 때, \(\dfrac{\overline{\rm PF'}}{\overline {\rm QF'}}\) 의 값은? ① \(3-\sqrt{3}\) ② \(\sqrt{3}\) ③ \(3+\sqrt{3}\) ④ \(3+2\sqrt{3}\) ⑤ \(3+3\sqrt{3}\) 정답 ④
그림과 같이 준선의 방정식이 \(x=0\) 인 포물선 \(C\) 의 초점이 쌍곡선 \(\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{7}=1\) 의 두 초점 \(\rm F, \;F'\) 중 한 초점 \(\rm F\) 와 일치한다. 쌍곡선과 포물선의 두 교점을 각각 \(\rm P, \;Q\) 라 할 때, \(\rm PQ\) 의 길이는 \(a\) 이다. \(a^2\) 의 값을 구하시오. (단, 점 \(\rm F\) 의 \(x\) 좌표는 양수이다.) 정답 \(224\)
그림과 같이 점 \({\rm A}(-5, \;0)\) 을 중심으로 하고 반지름의 길이가 \(r\) 인 원과 타원 \(\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1\) 의 한 교점을 \(\rm P\) 라 하자. 점 \({\rm B}(3,\;0)\) 에 대하여 \(\overline{\rm PA}+\overline{\rm PB}=10\) 일 때, \(10r\) 의 값을 구하시오. 정답 \(26\)
포물선 \(y^2=4(x-3)\) 위에 있지 않은 점 \({\rm P}(s,\;t)\) 에서 이 포물선에 그은 두 접선이 이루는 각의 크기가 \(45^{\rm o}\) 일 때, 점 \(\rm P\) 가 나타내는 도형을 \(C\) 라 하자. 도형 \(C\) 위의 임의의 점 \(\rm P\) 와 \(x\) 축 위의 두 점 \({\rm F}(k, \;0),\; {\rm F'}(-k,\;0)\) 에 대하여 항상 \(\left | \overline{\rm PF} - \overline{\rm PF'} \right | =2a\) 가 성립할 때, \(a^2+k^2\) 의 값을 구하시오. (단, \(k>0, \;a>0\)) 정답 \(24\)
그림과 같이 포물선 \(y^2=4x\) 와 점 \(\rm F(1, \;0)\) 을 지나는 직선이 만나는 점을 각각 \(\rm P,\;Q\) 라 하고, 두 점 \(\rm P, \;Q\) 에서 직선 \(x=-1\) 에 내린 수선의 발을 각각 \(\rm R, \;S\) 라 하자. \(\overline{\rm PQ}=16\) 일 때, 사각형 \(\rm RSQP\) 의 넓이를 구하시오. 정답 \(64\)
그림과 같이 포물선 \(y^2=kx\;(k>0)\) 의 초점 \(\rm F\) 를 지나면서 기울기가 \(1\) 인 직선 \(l\) 이 포물선과 만나는 두 점을 각각 \(\rm P, \;Q\) 라 하고, 두 점 \(\rm P,\;Q\) 에서 \(y\) 축에 내린 수선의 발을 각각 \(\rm P',\; Q'\) 이라 하자. 사각형 \(\rm QQ'PP'\) 의 넓이가 \(60\sqrt{2}\) 가 되도록 하는 실수 \(k\) 에 대하여 \(k^2\) 의 값을 구하시오. 정답 \(80\)
그림과 같이 포물선 \(y^2=4px\) 위의 제\(1\)사분면 위의 한 점 \(\rm P\) 를 지나고 \(x\) 축과 평행한 직선이 직선 \(y=-3x\) 와 만나는 점을 \(\rm Q\) 라 하고, 점 \(\rm P\) 와 포물선의 초점 \(\rm F\) 를 지나는 직선이 직선 \(y=-3x\) 와 만나는 점을 \(\rm R\) 라 하자. \(\overline{\rm PQ}=\overline{\rm PR}=44\) 일 때, 양수 \(p\) 의 값을 구하시오. 정답 \(4\) [수능 수학/수능수학] - 포물선의 반사 성질
그림과 같이 초점이 \(\rm F\) 인 포물선 \(y^2=2\sqrt{3}x\) 위에 \(\rm \angle OFA= \angle AFB=\dfrac{\pi}{6}\) 인 두 점 \(\rm A, \;B\) 가 있을 때, 삼각형 \(\rm ABF\) 의 넓이는? (단, \(\rm O\) 는 원점이고, 두 점 \(\rm A, \;B\) 는 제\(1\)사분면 위의 점이다.) ① \(2+\sqrt{3}\) ② \(2-\sqrt{3}\) ③ \(2\sqrt{3}\) ④ \(\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\) ⑤ \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) 정답 ②
포물선 \(y^2=4px\; \left ( p> \dfrac{5}{2} \right ) \) 의 초점을 \(\rm F\) 라 하자. \(x\) 축 위의 \(\overline{\rm AF}=5\) 인 점 \(\rm A\) 에 대하여 \(\rm A\) 를 지나고 기울기가 \(1\) 인 직선이 포물선 \(y^2=4px\) 와 만나는 두 점을 \(\rm P, \;Q \; \left ( \overline{\rm AP} < \overline{\rm AQ} \right )\) 라 하자. \(\overline{\rm AP}=3\sqrt{2}\) 일 때, 선분 \(\rm PQ\) 의 길이는? (단, 원점을 \(\rm O\) 라 할 때, \(\overline{\rm AO}