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목록(9차) 기하와 벡터 문제 풀이/공간도형 및 공간좌표 (102)
수악중독
그림과 같은 정육면체 \(\rm ABCD-EFGH\) 에서 모서리 \(\rm BF\) 를 \(2:1\) 로 내분하는 점을 \(\rm I\) , 모서리 \(\rm DH\) 를 \(1:2\) 로 내분하는 점을 \(\rm J\) 라 하자. 면 \(\rm IGJ\)와 밑면 \(\rm EFGH\) 가 이루는 예각의 크기를 \(\theta\) 라 할 때, \(\cos \theta = \dfrac{q}{p}\sqrt{14}\) 이다. 이때, \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\) 는 서로소인 자연수이다.) 정답 \(17\)
좌표공간에 있는 원기둥이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 높이는 \(8\) 이다. (나) 한 밑면의 중심은 원점이고 다른 밑면은 평면 \(z=10\) 과 오직 한 점 \((0,\;0,\;10)\) 에서 만난다. 이 원기둥의 한 밑면의 평면 \(z=10\) 위로의 정사영의 넓이는? ① \(\dfrac{139}{4}\pi\) ② \(\dfrac{144}{5}\pi\) ③ \(\dfrac{149}{5}\pi\) ④ \(\dfrac{154}{5}\pi\) ⑤ \(\dfrac{159}{5}\pi\) 정답 ②
같은 평면 위에 있지 않고 서로 평행한 세 직선 \(l, \;m,\;n\) 이 있다. 직선 \(l\) 위의 두 점 \(\rm A, \;B\), 직선 \(m\) 위의 점 \(\rm C\), 직선 \(n\) 위의 점 \(\rm D\) 가 조건을 만족시킨다. (가) \(\overline{\rm AB}=2\sqrt{2},\; \overline{\rm CD}=3\) (나) \(\overline{\rm AC} \bot l, \; \overline{\rm AC}=5\) (다) \(\overline{\rm BD} \bot l, \; \overline{\rm BD}=4\sqrt{2}\) 두 직선 \(m,\;n\) 을 포함하는 평면과 세 점 \(\rm A, \;C,\;D\) 를 포함하는 평면이 이루는 각의 크기를 \(\t..
그림과 같이 \(\overline{\rm AB}=9,\; \overline{\rm AD}=3\) 인 직사각형 \(\rm ABCD\) 모양의 종이가 있다. 선분 \(\rm AB\) 위의 점 \(\rm E\) 와 선분 \(\rm DC\) 위의 점 \(\rm F\) 를 연결하는 선을 접는 선으로 하여, 점 \(\rm B\) 의 평면 \(rm AEFD\) 위로의 정사영이 점 \(\rm D\) 가 되도록 종이를 접었다. \(\overline{\rm AE}=3\) 일 때, 두 평면 \(\rm AEFD\) 와 \(\rm EFCB\) 가 이루는 각의 크기가 \(\theta\) 이다. \(60 \cos \theta\) 의 값을 구하시오. (단, \(0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}\) 이고 종이의 두께는..
그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 \(7\) 인 원기둥과 밑면의 반지름의 길이가 \(5\) 이고 높이가 \(12\)인 월뿔이 평면 \(\alpha\) 위에 놓여 있고, 원뿔의 밑변의 둘레가 원기둥의 밑면의 둘레에 내접한다. 평면 \(\alpha\) 와 만나는 원기둥의 밑면의 중심을 \(\rm O\), 원뿔의 꼭짓점을 \(\rm A\) 라 하자. 중심이 \(\rm B\) 이고 반지름의 길이가 \(4\) 인 구 \(S\) 가 다음 조건을 만족한다. (가) 구 \(S\) 는 원기둥과 원뿔에 모두 접한다. (나) 두 점 \(\rm A, \;B\) 의 평면 \(\alpha\) 위로의 정사영이 각각 \(\rm A', \;B'\) 일 때, \(\angle \rm A'OB'=180^{\rm o}\) 이다. 직선 \(..
그림과 같이 중심 사이의 거리가 \(\sqrt{3}\) 이고 반지름의 길이가 \(1\) 인 두 원판과 평면 \(\alpha\) 가 있다. 각 원판의 중심을 지나는 직선 \(l\) 은 두 원판의 면과 각각 수직이고, 평면 \(\alpha\) 와 이루는 각의 크기가 \(60^{\rm o}\) 이다. 태영광선이 그림과 같이 평면 \(\alpha\) 에 수직인 방향으로 비출 때, 두 원판에 의해 평면 \(\alpha\) 에 생기는 그림자의 넓이는? (단, 원판의 두께는 무시한다.) ① \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\pi+\dfrac{3}{8}\) ② \(\dfrac{2}{3}\pi+\dfrac{\sqrt{3}}{4}\) ③ \(\dfrac{2 \sqrt{3}}{3}\pi+\dfrac{1}{8}\) ④ ..
아래 그림과 같은 구 모양의 지구본이 있다. 구의 중심을 \(\rm O\), 적도 상에 있는 동경 \(120^{\rm o}\) 인 지점을 \(\rm A\) 라 하고, 동경 \(150^{\rm o}\), 북위 \(30^{\rm o}\) 인 지점을 \(\rm B\) 라 하자. \(\angle \rm AOB\) 의 크기를 \(\omega\) 라 할 때, \(\cos \omega\) 의 값은?① \(\dfrac{1}{4}\) ② \(\dfrac{\sqrt{2}}{4}\) ③ \(\dfrac{1}{2}\) ④ \(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\) ⑤ \(\dfrac{3}{4}\) 정답 ⑤
그림과 같이 평면 \(\alpha\) 위에 점 \(\rm A\) 가 있고, \(\alpha\) 로부터의 거리가 각각 \(1,\;3\) 인 두 점 \(\rm B,\;C\) 가 있다. 선분 \(\rm AC\) 를 \(1:2\) 로 내분하는 점 \(\rm P\) 에 대하여 \(\overline{\rm BP}=4\) 이다. 삼각형 \(\rm ABC\) 의 넓이가 \(9\) 일 때, 삼각형 \(\rm ABC\) 의 평면 \(\alpha\) 위로의 정사영의 넓이를 \(S\) 라 하자. \(S^2\) 의 값을 구하시오. 정답 \(45\)
\(\overline{\rm AB}=\overline{\rm AD}=2,\; \overline{\rm AE}=3\) 인 직육면체 \(\rm ABCD-EFGH\) 에서 선분 \(\rm AB\) 와 선분 \(\rm CD\) 의 중점을 각각 \(\rm I, \;J\) 라 할 때, 평면 \(\rm EIJH\) 와 평면 \(\rm IFGJ\) 에 대하여 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 평면 \(\rm EIJH\) 와 평면 \(\rm IFGJ\) 가 이루는 예각의 크기는 \(\angle \rm EIF\) 의 크기와 같다. ㄴ. 사각형 \(\rm IFGJ\) 의 평면 \(\rm EIJH\) 위로의 정사영의 넓이는 \(\dfrac{8\sqrt{10}}{5}\) 이다. ㄷ. 선분 \(\rm JF\) 의 평..
좌표공간에 두 구 \[(x-1)^2+(y-a)^2+(z-\sqrt{3})^2=4,\;\;x^2+(y-2)^2+z^2=4\] 가 있다. 두 구가 만날 때 생기는 두 구 내분의 공통영역의 부피 \(V\) 의 최댓값은? ① \(\dfrac{7}{3}\pi\) ② \(\dfrac{8}{3}\pi\) ③ \(3\pi\) ④ \(\dfrac{10}{3}\pi\) ⑤ \(\dfrac{11}{3}\pi\) 정답 ④