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목록(9차) 기하와 벡터 문제 풀이/공간도형 및 공간좌표 (102)
수악중독
\(\overline {\rm AB} =a ,\;\; \overline {\rm AD} = b \;\;\;(a>b>0)\) 인 직사각형 모양의 종이 \(\rm ABCD\) 가 있다. 그림과 같이 대각선 \(\rm BD\) 의 중점 \(\rm M\) 을 지나고 \(\rm BD\) 에 수직인 직선 \(\rm EF\) 를 접는 선으로 하여 평면 \(\rm AEFD\) 와 평면 \(\rm EBCF\) 가 수직이 되도록 접었다. 이 공간도형에서 \(\angle \rm CFD\) 의 크기를 \(\theta \;\;(0
한 평면 위에 있지 않은 네 점 \(\rm A,\;B,\;C,\;D\) 에 대하여 선분 \(\rm BD\), 선분 \(\rm CD\), 선분 \(\rm AC\), 선분 \(\rm AB\) 각각의 중점 \(\rm E,\;F,\;G,\;H\) 는 한 평면 위에 있다. \(\overline {\rm AB}= \overline {\rm CD}=7\), \(\overline {\rm AC}=\overline {\rm BD}=5\), \(\overline {\rm BC}=6\) 이고 평면 \(\rm ABC\) 와 평면 \(\rm BCD\) 가 이루는 각이 \(60^o\) 일 때, 사각형 \(\rm EFGH\) 의 평면 \(\rm BCD\) 위로의 정사영의 넓이를 \(S\) 라 하자. 이 때, \(4S^2\) 의 값..
정 \(n\) 각 기둥에서 밑면의 한 모서리와 꼬인 위치에 있는 모서리의 개수를 \(f(n)\) 이라 하자. 예를 들어, \(f(3)=3,\;\;f(4)=4\) 이다. 이때, \(\sum \limits _{n=3}^{30} f(n)\) 의 값을 구하시오. 정답 826
좌표공간에서 원점을 지나고 \(y\) 축의 양의 방향과 이루는 각이 \(\dfrac{\pi}{6}\) 가 되는 직선들의 자취를 \(\rm F\) 라 하자. \(\rm F\) 위의 임의의 점 \(\rm P\) 와 정점 \({\rm A}(1,\;0,\;0)\) 에 대하여 \(\angle \rm AOP = \theta\) 라 할 때, \(\cos \theta\) 의 최댓값을 \(M\), 최솟값을 \(m\) 이라 한다. 이때, \(M+m\) 의 값은? (단, \(0
그림과 같이 반지름의 길이가 모두 \(\sqrt{3}\) 이고 높이가 서로 다른 세 원기둥이 서로 외접하며 한 평면 \(\alpha\) 위에 놓여 있다. 평면 \(\alpha\) 와 만나지 않는 세 원기둥의 밑면의 중심을 각각 \(\rm P,\;Q,\;R\) 라 할 때, 삼각형 \(\rm QPR\) 는 이등변삼각형이고, 평면 \(\rm QPR\) 와 평면 \(\alpha\) 가 이루는 각의 크기는 \(60^o\) 이다. 세 원기둥의 높이를 각각 \(8,\; a,\; b\) 라 할 때, \(a+b\) 의 값을 구하시오. (단, \(8
\(\overline {\rm OA} = \overline {\rm OB} = \overline {\rm OC} = \overline {\rm CA} = 7,\;\; \overline {\rm AB}=8,\;\; \overline {\rm BC}=5\) 인 사면체 \(\rm OABC\) 의 꼭짓점 \(\rm B\) 에서 삼각형 \(\rm OAC\) 에 내린 수선의 길이를 구하시오. \(\dfrac{40\sqrt{6}}{21}\)
좌표공간에서 집합 \(\left \{ (x,\;y,\;z) \;{\Large \vert}\; x^2 +(z-1)^2 \le 1,\;\; y=0,\;\; 0 \le z \le 1 \right \}\) 이 나타내는 도형을 \(C\) 라 하자. 점 \({\rm A}(0,\;-1,\;2)\) 와 도형 \(C\) 위의 점 \(\rm P\) 를 지나는 직선이 \(xy\) 평면과 만나는 점을 \(\rm Q\) 라 하면 점 \(\rm Q\) 가 나타내는 도형의 넓이는 \(\dfrac{b}{a}\) 이다. 이때, \(a+b\) 의 값을 구하시오. (단, \(a,\;b\) 는 서로소인 자연수이다.) 정답 11
오른쪽 그림과 같이 \(\overline {\rm AB} = \overline {\rm CD}=5,\;\; \overline {\rm AC} = \overline {\rm BD}=6,\;\; \overline {\rm AD} = \overline {\rm BC}=7\) 인 사면체 \(\rm DABC\) 가 있다. 이 사면체의 네 꼭짓점을 지나는 구의 겉넓이를 \(S\)라 할 때, \(\dfrac{S}{\pi}\) 의 값을 구하시오. 정답 55
좌표공간에서 원점을 지나고 \(y\) 축의 양의 방향과 이루는 각이 \(\Large \frac{\pi}{6}\)가 되는 직선들의 자취를 \(\rm F\)라 하자. \(\rm F\) 위의 임의의 점 \(\rm P\)와 정점 \(\rm A(1,\;0,\;0)\)에 대하여 \(\angle {\rm AOP} = \theta\)라 할 때, \(\cos \theta\)의 최댓값을 \(M\), 최솟값을 \(m\)이라 한다. 이 때, \(M+m\)의 값은? (단, \(0
그림과 같이 공간에 평면 \(\alpha\) 와 정점 \(\rm A\) 가 있다. 직각삼각형 \(\rm ABC\) 에서 \(\overline {\rm AC} =4,\; \overline {\rm BC}=3\) 일 때 점 \(\rm A\) 를 고정하고, 선분 \(\rm BC\) 를 평면 \(\alpha\) 위에서 움직일 때, 선분 \(\rm BC\) 가 그리는 도형의 넓이는? ① \(\pi\) ② \(3\pi\) ③ \(5\pi\) ④ \(7\pi\) ⑤ \(9\pi\) 정답 ⑤