수악중독

그림과 같이 원점 \(\rm O\) 로부터의 거리가 \(1\) 인 점 \(\rm P\) 에 대하여 선분 \(\rm OP\) 가 \(x\) 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 \(\theta \left ( \dfrac{\pi}{4} < \theta < \dfrac{\pi}{2} \right ) \) 라 하자. 점 \(\rm P\) 에서 직선 \(y=x\) 에 내린 수선의 발을 \(\rm Q\) 라 하고, 선분 \(\rm PQ\) 의 중점을 \(\rm M\) 이라 하자. 점 \(\rm M\) 의 \(y\) 좌표가 최대일 때, \(\tan \theta\) 의 값은?① \(2\) ② \(\dfrac{7}{3}\) ③ \(\dfrac{8}{3}\) ④ \(3\) ⑤ \(\dfrac{10}{3}\) 정답 ④ 문제..

그림과 같이 중심이 \(\rm O\) 이고, 반지름의 길이가 \(1\) 인 원이 있다. 원의 중심으로부터 거리가 \(2\) 인 점 \(\rm A\) 에서 원과 서로 다른 두 점에서 각각 만나도록 그은 두 직선이 이루는 각의 크기가 \(\dfrac{\pi}{6}\) 로 일정하다. 원의 중심 \(\rm O\) 에서 두 직선까지의 거리를 각각 \(l,\;m\) 이라 할 때, \(2l^2+m^2\) 의 최솟값은 \(p+q\sqrt{7}\) 이다. \(30(p+q)\) 의 값을 구하시오. (단, \(p, \;q\) 는 유리수이다.) 정답 \(120\)

\(0 \leq x \leq \pi\) 일 때, \(f(x)=\sin x + \cos x - 2 \sin x \cos x\) 의 최댓값과 최솟값의 곱은? ① \(-\dfrac{5}{4}\) ② \(-1\) ③ \(0\) ④ \(1\) ⑤ \(\dfrac{5}{4}\) 정답 ①

그림과 같이 \(\overline{\rm AB}=3, \; \overline{\rm AC}=4\) 인 삼각형 \(\rm ABC\) 가 있다. 꼭짓점 \(\rm C\) 에서 선분 \(\rm AB\) 에 내린 수선의 발을 \(\rm D\) 라 할 때, 선분 \(\rm CD\) 의 연장선 위에 \(\overline{\rm DE}=3\) 을 만족시키는 점 \(\rm E\) 를 잡는다. 두 삼각형 \(\rm ABC, \; AED\) 의 넓이를 각각 \(S_1 , \; S_2\) 라 할 때, \(S_1 + S_2\) 의 최댓값을 \(M\) 이라 하자. \(M^2\) 의 값을 구하시오. (단, \(\angle \rm CAB\) 는 예각이다.) 정답 \(136\)

\(\angle \rm B\) 가 직각인 이등변삼각형 \(\rm ABC\) 가 있다. 그림과 같이 선분 \(\rm BC\) 위의 점 \(\rm D\) 와 선분 \(\rm BC\) 의 연장선 위의 점 \(\rm E\) 를 \(\angle \rm CAD = \angle CAE=\theta\) 가 되도록 잡는다. \(\dfrac{\overline{\rm AE}- \overline{\rm AD}}{\overline{\rm AC}}=2\) 일 때, \(\sin \theta\) 의 값은? ① \(\dfrac{1}{3}\) ② \(\dfrac{1}{2}\) ③ \(\dfrac{2-\sqrt{2}}{4}\) ④ \(\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\) ⑤ \(\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3..

좌표평면에서 두 점 \(\rm P, \;Q\) 가 점 \((1, \;0)\) 을 동시에 출발하여 원 \(x^2 +y^2=1\) 위를 시계 반대 방향으로 돌고 있으며, 점 \(\rm P\) 가 \(2t \;(0 \leq t \leq \pi)\) 만큼 움직일 때, 점 \(\rm Q\) 는 \(t\) 만큼 움직인다. 점 \(\rm P\) 에서 \(y\) 축 까지의 거리와 점 \(\rm Q\) 에서 \(x\) 축 까지의 거리가 같으지는 모든 \(t\) 의 값의 합은? ① \(\dfrac{\pi}{4}\) ② \(\dfrac{\pi}{2}\) ③ \( \pi\) ④ \(\dfrac{5}{4}\pi\) ⑤ \(\dfrac{3}{2}\pi\) 정답 ⑤

삼각형 \(\rm ABC\) 가 \(\overline{\rm AB} + \overline{\rm BC} = 2 \overline{\rm CA}\) 인 관계를 만족할 때, \(\cot \dfrac{\rm A}{2} \cot \dfrac{\rm C}{2}\) 의 값을 구하여라. 정답 \(3\)

두 도시 \(\rm A, \; B\) 는 \(60 \rm km\) 떨어져 있고, 도시 \(\rm O\) 는 두 도시의 중간 지점에 있다. 신도시의 위치를 도시 \(\rm O\) 에서 \(30 \rm km\) 떨어진 지점에 정한 후, 신도시와 도시 \(\rm A\) 사이에는 \(2\) 차로 직선 도로를 , 신도시와 도시 \(\rm B\) 사이에는 \(4\) 차로 직선 도로를 건설하려고 한다. \(2\) 차로 도로는 \(\rm km\) 당 \(6\) 억 원, \(4\) 차로 도로는 \(\rm km\) 당 \(8\) 억 원의 공사비가 소요된다. 공사비가 최대가 되는 신도시의 위치를 \(\rm P\) 라 하고, \(\angle \rm PAB= \theta\) 라 할 때, \(\tan \theta\) 의 값은? ..

중심이 \(\rm O\) 이고 선분 \(\rm PQ\) 를 지름으로 하는 원과, 원 위의 점 \(\rm R\) 에서 접하는 접선 \(l\) 이 있다. 두 점 \(\rm P, \;Q\) 에서 접선 \(l\) 에 내린 수선의 발을 각각 \(\rm P', \; Q'\) 이라 할 때, \(\angle {\rm OPP'} = \alpha, \; \angle {\rm QOQ'} = \beta \) 라고 하자. \(\sin \alpha = \dfrac{4}{5}\) 일 때, \(\tan \beta\) 의 값은? \( \left ( 단, \; 0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2} \right ) \) ① \(\dfrac{8}{31}\) ② \(\dfrac{12}{33}\) ③ \(\dfrac{17}{35}..

점 \((6, \;2)\) 에서 원 \(x^2 +y^2 =1\) 에 두 접선을 그었을 때, 두 접선이 \(x\) 축의 양의 방향과 이루는 각은 각각 \(\alpha, \; \beta\) 이다. \(\tan (\alpha + \beta)\) 의 값은? ① \(\dfrac{1}{2}\) ② \(\dfrac{3}{4}\) ③ \(1\) ④ \(\dfrac{5}{4}\) ⑤ \(\dfrac{3}{2}\) 정답 ② 다른 풀이