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목록(9차) 미적분 I 문제풀이/적분 (155)
수악중독
최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 와 양수 $k$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=\dfrac{f(x)+|f(x)-k|}{2}$$ 라 하자. 두 함수 $f(x)$ 와 $g(x)$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $g(x)$ 는 $x=0$ 에서만 미분가능하지 않다.(나) $g(0)=g(2)$ (다) $\displaystyle \int_0^2 |f(x)-g(x)| \; dx =8$ $g(1)+g(-1)$ 의 값을 구하시오. 정답 $9$
두 함수 $f(x)$ 와 $g(x)$ 가 $$f(x)=\left \{ \begin{array}{ll} 0 & (x \le 0) \\ x & (x>0) \end{array} \right . , \;\; g(x) = \left \{ \begin{array}{ll} x(2-x) & (|x-1| \le 1) \\0 & (|x-1| > 1) \end{array} \right .$$ 이다. 양의 실수 $k, \; a, \; b \;\;(a
좌표평면 위의 점 $\rm P$ 에서 곡선 $y=x^2$ 에 그은 두 접선을 각각 $l_1, \; l_2$ 라 하자. 곡선 $y=x^2$ 과 두 직선 $l_1, \; l_2$ 로 둘러싸인 부분의 넓이가 $18$ 일 때, 점 $\rm P$ 가 나타내는 도형의 방정식을 $y=f(x)$ 라 하자. 두 곡선 $y=x^2, \; y=f(x)$ 와 두 직선 $x=0$, $x=10$ 으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오. (단, 점 $\rm P$ 는 곡선 $y=x^2$ 의 아래쪽에 있는 점이다.) 정답 $90$
최고차항의 계수가 $1$ 인 두 이차 다항함수 $f(x), \; h(x)$ 와 $g(x)= \displaystyle \int_a^{x-a} f'(t) \; dt$ (단, $a$ 는 양의 상수) 로 정의되는 함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x)-f(2b-x)=0$ 이다.(나) 방정식 $f(x)=0$ 의 두 실근의 차와 방정식 $g(x)=0$ 의 두 실근의 차는 모두 $b$ 이다. (단, $b$ 는 상수)(다) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $\{f(x)+g(x)+M\}h(x)=2f(x)g(x)$ 가 성립한다. $M$ 의 최댓값이 $16$ 일 때, $f(2b)+g \left ( \dfrac{a}{2} \right )$ 의 값을 구하시오. 정답 $132$
모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x)>0$ 인 이차함수 $f(x)$ 와 최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $g(x)$ 에 대하여 함수 $H(x)$ 를 $H(x)=\displaystyle \int_{g(x)}^{f(x)} f(t) \; dt$ 라고 할 때, 함수 $f(x), \; g(x), \; H(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $H(1)=0$(나) 함수 $f(x)$ 와 함수 $g(x)$ 가 만나는 모든 점의 $x$ 좌표 값은 정수이다.(다) $x
함수 $f(x)=x^3-6x^2$ 와 실수 $t$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 다음과 같이 정의한다. $$g(x)=\left \{ \begin{array}{ll} f(x)-f(t) & (x
점 $(0, \;0)$ 을 지나는 삼차함수 $y=f(x)$ 에 대하여 함수 $$F(x)= \displaystyle \int_0^x f(t)dt$$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $F(x)$ 는 $x=\alpha$ 에서 극대이고, $x=\beta$ 에서 극소이다.(나) $F(\alpha)=2, \;\; F(\beta)=0, \;\; F(\gamma)=4$ $(0
다음 그림과 같이 극댓값 $1$ 을 갖는 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 $g(x) = \displaystyle \int_x^{x+2} f(t) dt$ 라 하면 함수 $g(x)$ 는 $x=\alpha$ 에서 극댓값과 $x=\beta$ 에서 극솟값을 갖는다. 다음 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, $\alpha, \; \beta$는 실수이다.)ㄱ. $\alpha=0$ 이다.ㄴ. 방정식 $g(x)=1$ 은 서로 다른 실근 $2$ 개를 갖는다.ㄷ. $\dfrac{g(\alpha)+g(\beta)}{2} = f(\beta)$ ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③
세 함수 $f(x), \; g(x), \; h(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f(1)=2, \; g(1)=1$ (나) 모든 실수 $x, \; y$ 에 대하여 $f(xy+1)=xg(y)+h(x+y)$ 이다. 실수 $t$ 에 대하여 함수 $$p(x)= \{ 2f(x)-g(x)-h(x) \}^2 - h(x) |x-t| \;\; (-1 \le x \le 1)$$ 의 최댓값을 $q(t)$ 라 하자. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 함수 $y=|q(t)|$ 의 극값은 $2$개 존재한다. ㄴ. 함수 $y=|q(t)|$ 의 미분불가능한 점은 $4$ 개 존재한다. ㄷ. $\displaystyle \int_{-2}^2 q(t) dt = \int_{-1}^1 q(t) dt $ ① ㄴ ② ㄷ ③ ..