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목록(8차) 수학2 질문과 답변/함수의 극한 및 연속성 (43)
수악중독
함수 \(f(x)\) 가 임의의 두 실수 \(x, \;y\) 에 대하여 \[f(x+y)=f(x)+f(y)-3xy-1\] 을 만족시킨다. 함수 \(f(x)\) 가 \(x=0\) 에서 연속일 때, 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(f(0)=1\) ㄴ. 함수 \(f(x)\) 는 실수 전체의 집합에서 연속이다. ㄷ. 방정식 \(f(x)=0\) 은 구간 \((-1, \;1)\) 에서 적어도 하나의 실근을 가진다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤
그림과 같이 중심이 \(\rm O\) 이고 반지름의 길이가 \(1\) 인 원이 있다. 이 원에 내접하는 반지름의 길이가 \(\dfrac{1}{n}\) 인 원 \(\rm O_1\) 을 그리고, 중심 \(\rm O\) 에서 원 \(\rm O_1\) 에 그은 두 접선이 이루는 예각의 크기를 \(\theta_n\) 이라 하자. \(\lim \limits_{n \to \infty} \left ( \dfrac{14n^2 +1}{2n+1} \right ) \theta_n \) 의 값을 구하시오. (단, \(n>3\)) 정답 \(14\)
\(3^{x-1} +3^y = 3^{x+y} \) 에서 \(y=f(x)\) 라 할 때, \( \left | \lim \limits_{x \to \infty} f(x) \right | \) 의 값을 구하여라. 정답 \(1\)
그림과 같이 길이가 \(2\) 인 선분 \(\rm AB\) 를 지름으로 하는 반원 위에 두 점 \(\rm P, \;Q\) 를 \(\angle \rm ABP= \angle \rm BAQ =\theta \;\; \left ( 0
\(\overline{\rm AB}=1, \; \angle {\rm A}=2 \theta, \; \angle {\rm C}= \theta \; \left ( 0< \theta < \dfrac{\pi}{6} \right )\) 인 삼각형 \(\rm ABC\) 에 대하여 선분 \(\rm AB\) 의 연장선 위의 점 \(\rm O\) 를 중심으로 하고 두 점 \(\rm B, \;C\) 를 지나는 반원을 그린다. 직선 \(\rm AC\) 가 반원과 만나는 점 중에서 \(\rm C\) 가 아닌 점을 \(\rm P\) 라 할 때, \(\rm P\) 와 직선 \(\rm BC\) 사이의 거리를 \(l(\theta)\) 라 하자. \[ \lim \limits_{\theta \to \frac{\pi}{6} -0} \lef..
평면에서 삼각형 \(\rm ABC\) 가 \(\overline{\rm AB}=6,\; \overline{\rm AC}=a, \; \angle \rm B=30^o\) 를 만족시킬 때, 만들어질 수 있는 삼각형 \(\rm ABC\) 의 개수를 \(f(a)\) 라 하자. 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, 합동인 도형은 하나로 본다.) ㄱ. \(f(5)=2\)ㄴ. \(\lim \limits_{a \to 3-0} f(a) = \lim \limits_{a \to 3+0} f(a)\)ㄷ. 구간 \((0,\; \infty)\) 에서 함수 \(f(a)\) 의 불연속점은 \(2\) 개다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③
그림과 같이 \(\overline{\rm AB} = \sqrt{1+\dfrac{1}{x}} , \;\; \overline{\rm BC} = \sqrt{x+\dfrac{1}{x}}\) , \(\overline{\rm CA} = \sqrt{1+x}\) 인 삼각형 \(\rm ABC\) 의 넓이를 \(S(x)\) 라 할 때, \(\lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{S(x)}{\sqrt{x}}\) 의 값은? (단, \(x>0\) ) ① \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) ② \(\dfrac{1}{2}\) ③ \(\dfrac{\sqrt{2}}{4}\) ④ \(\dfrac{1}{4}\) ⑤ \(\dfrac{\sqrt{2}}{8}\) 정답 ②
다항함수 \(f(x)\) 가 \[\lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{\{ f(x)\}^3 -1}{x^4 f(x) +5} =4, \;\;\; \lim \limits_{x \to 1} \dfrac{f(x-1)}{f(x)+4} = \infty\] 를 만족시킬 때, \(\dfrac{f(9)}{f(3)}\) 의 값을 구하시오. 정답 \(11\)
세 양수 \(a, \;b,\;c\) 에 대하여 \[ \lim \limits_{x \to \infty} x^a \ln \left ( b+\dfrac{c}{x^2} \right ) =2\] 일 때, \(a+b+c\) 의 값은? ① \(5\) ② \(6\) ③ \(7\) ④ \(8\) ⑤ \(9\) 정답 \(5\)