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목록2023/02/01 (50)
수악중독
$x$ 에 대한 이차방정식 $x^2+2(k-2)x+k^2-24=0$ 이 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 모든 자연수 $k$ 의 개수를 구하시오. 더보기 정답 $6$
점 $(2, \; 5)$ 를 지나고 직선 $3x+2y-4=0$ 에 수직인 직선의 방정식이 $2x+ay+b=0$ 일 때, $a+b$ 의 값을 구하시오. (단, $a, \; b$ 는 상수이다.) 더보기 정답 $8$
좌표평면 위의 점 $(3, \; 9)$ 를 지나고 기울기가 $2$ 인 직선의 $y$ 절편은? ① $3$ ② $4$ ③ $5$ ④ $6$ ⑤ $7$ 더보기 정답 ① $y-9 = 2 (x-3)$ $y=2x+3$ 따라서 직선의 $y$ 절편은 $3$ 이다.
좌표평면에서 직선 $3x-2y+a=0$ 을 원점에 대하여 대칭이동한 직선이 점 $(3, \; 2)$ 를 지날 때, 상수 $a$ 의 값은? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 더보기 정답 ⑤ 직선 $3x-2y+a=0$ 을 원점에 대하여 대칭이동한 직선은 $3(-x)-2(-y)+a=0$, 즉 $3x-2y-a=0$ 이다. 이 직선이 점 $(3, \; 2)$ 를 지나므로 $9-4-a=0$ $\therefore a = 5$
복소수 $z=2+\sqrt{2}i$ 에 대하여 $z^2-4z$ 의 값은? (단, $i=\sqrt{-1}$) ① $-12$ ② $-10$ ③ $-8$ ④ $-6$ ⑤ $-4$ 더보기 정답 ④ $\begin{aligned} z^2-4z &= \left ( 2+\sqrt{2}i \right )^2 - 4 \left (2 + \sqrt{2}i \right ) \\ &=4 +4\sqrt{2}i -2 - 8 -4\sqrt{2}i \\ &= -6 \end{aligned}$
다항식 $f(x)$ 에 대하여 다항식 $(x+3)\{f(x)-2\}$ 를 $x-1$ 로 나눈 나머지가 $16$ 일 때, 다항식 $f(x)$ 를 $x-1$ 로 나눈 나머지는? ① $6$ ② $7$ ③ $8$ ④ $9$ ⑤ $10$ 더보기 정답 ① $g(x)=(x+3)\{f(x)-2\}$ 라고 하면 $g(x)$ 를 $x-1$ 로 나눈 나머지는 $g(1)$ 이다. $\therefore g(1)=4f(1)-8=16 \quad \to \quad f(1)=6$ 다항식 $f(x)$ 를 $x-1$ 로 나눈 나머지는 $f(1)=6$ 이다.
좌표평면에서 원 $x^2+y^2=10$ 위의 점 $(3, \; 1)$ 에서의 접선이 점 $(1, \; a)$ 를 지날 때, $a$ 의 값은? ① $3$ ② $4$ ③ $5$ ④ $6$ ⑤ $7$ 더보기 정답 ⑤ 원 $x^2+y^2=10$ 위의 점 $(3, \; 1)$ 에서의 접선의 방정식은 $3x+y=10$ 이다. 이 접선이 점 $(1, \; a)$ 를 지나므로 $3+a=10$ $\therefore a=7$
$x$ 에 대한 이차방정식 $x^2-ax-4=0$ 의 두 근을 $\alpha, \; \beta$ 라 하자. $\dfrac{\alpha}{\beta}+\dfrac{\beta}{\alpha}=-6$ 일 때, 양수 $a$ 의 값은? ① $3$ ② $4$ ③ $5$ ④ $6$ ⑤ $7$ 더보기 정답 ② 이차방정식 근과 계수와의 관계에 의하여 $\alpha+\beta = a, \; \alpha \beta = -4$ 이다. $\dfrac{\alpha}{\beta}+\dfrac{\beta}{\alpha}=\dfrac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta} = \dfrac{(\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta}{\alpha\beta} = \dfrac{a^2+8}{-4}=-6 $ $a..
좌표평면에서 직선 $y=mx-4$ 가 이차함수 $y=x^2+x$ 의 그래프에 접하도록 하는 양수 $m$ 의 값은? ① $1$ ② $3$ ③ $5$ ④ $7$ ⑤ $9$ 더보기 정답 ③ $x^2+x=mx-4$ $x^2+(1-m)x+4=0$ 위 이차방정식의 판별식을 $\mathrm{D}$ 라고 하면 $\mathrm{D}=(1-m)^2-16=0$ $\therefore 1-m = \pm 4$ $m=5 \; (\because m>0)$