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목록2022/11 (45)
수악중독
세 상수 $a, \; b, \; c$ 에 대하여 함수 $f(x)=ae^{2x}+be^x+c$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\lim \limits_{x \to -\infty} \dfrac{f(x)+6}{e^x}=1$ (나) $f(\ln 2)=0$ 함수 $f(x)$ 의 역함수를 $g(x)$ 라 할 때, $\displaystyle \int_0^{14} g(x) dx = p+q \ln 2$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p, \; q$ 는 유리수이고, $\ln 2$ 는 무리수이다.) 더보기 정답 $26$
최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 $f(x)$ 와 함수 $g(x)=e^{\sin \pi x}-1$ 에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함성합수 $h(x)=g(f(x))$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $h(x)$ 는 $x=0$ 에서 극댓값 $0$ 을 갖는다. (나) 열린구간 $(0, \; 3)$ 에서 방정식 $h(x)=1$ 의 서로 다른 실근의 개수는 $7$ 이다. $f(3)=\dfrac{1}{2}$, $f'(3)=0$ 일 때, $f(2)=\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $31$
두 초점이 ${\rm F}(c, \; 0)$, ${\rm F'}(-c, \; 0)$ $(c>0)$ 인 쌍곡선 $C$ 와 $y$ 축 위의 점 $\rm A$ 가 있다. 쌍곡선 $C$ 가 선분 $\rm AF$ 와 만나는 점을 $\rm P$, 선분 $\rm AF'$ 과 만나는 점을 $\rm P'$ 이라 하자. 직선 $\rm AF$ 는 쌍곡선 $C$ 의 한 점근선과 평행하고 $$\overline{\rm AP}:\overline{\rm PP'}=5:6 \quad \overline{\rm PF}=1$$ 일 때, 쌍곡선 $C$ 의 주축의 길이는? ① $\dfrac{13}{6}$ ② $\dfrac{9}{4}$ ③ $\dfrac{7}{3}$ ④ $\dfrac{29}{12}$ ⑤ $\dfrac{5}{2}$ 더보기 정답 ②
평면 $\alpha$ 위에 $\overline{\rm AB}=\overline{\rm CD}=\overline{\rm AD}=2$, $\angle {\rm ABC}=\angle {\rm BCD}=\dfrac{\pi}{3}$ 인 사다리꼴 $\rm ABCD$ 가 있다. 다음 조건을 만족시키는 평면 $\alpha$ 위의 두 점 $\rm P, \; Q$ 에 대하여 $\overrightarrow{\rm CP} \cdot \overrightarrow{\rm DQ}$ 의 값을 구하시오. (가) $\overrightarrow{\rm AC}=2 \left ( \overrightarrow{\rm AD}+\overrightarrow{\rm BP} \right )$ (나) $\overrightarrow{\rm AC} \cdo..
좌표공간에 정사면체 $\rm ABCD$ 가 있다. 정삼각형 $\rm BCD$ 의 외심을 중심으로 하고 점 $\rm B$ 를 지나는 구를 $S$ 라 하자. 구 $S$ 와 선분 $\rm AB$ 가 만나는 점 중 $\rm B$ 가 아닌 점을 $\rm P$, 구 $S$ 와 선분 $\rm AC$ 가 만나는 점 중 $\rm C$ 가 아닌 점을 $\rm Q$, 구 $S$ 와 선분 $\rm AD$ 가 만나는 점 중 $\rm D$ 가 아닌 점을 $\rm R$ 라 하고, 점 $\rm P$ 에서 구 $S$ 에 접하는 평면을 $\alpha$ 라 하자. 구 $S$ 의 반지름의 길이가 $6$ 일 때, 삼각형 $\rm PQR$ 의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영의 넓이는 $k$ 이다. $k^2$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답..