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목록2022/11 (45)
수악중독
자연수 $m \; (m \ge 2)$ 에 대하여 $m^{12} $ 의 $n$ 제곱근 중에서 정수가 존재하도록 하는 $2$ 이상의 자연수 $n$ 의 개수를 $f(m)$ 이라 할 때, $\sum \limits_{m=2}^9 f(m)$ 의 값은? ① $37$ ② $42$ ③ $47$ ④ $52$ ⑤ $57$ 더보기 정답 ③
다함함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 다음과 같이 정의한다. $$g(x)=\begin{cases}x & (x1) \\ f(x) & (-1 \le x \le 1)\end{cases}$$ 함수 $h(x)=\lim \limits_{t \to 0+} g(x+t) \times \lim \limits_{t \to 2+}g(x+t)$ 에 대하여 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $h(1)=3$ ㄴ. 함수 $h(x)$ 는 실수 전체의 집합에서 연속이다. ㄷ. 함수 $g(x)$ 가 닫힌구간 $[-1, \; 1]$ 에서 감소하고 $g(-1)=-2$ 이면 함수 $h(x)$ 는 실수 전체의 집합에서 최솟값을 갖는다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ 더보기 정답 ①
모든 항이 자연수이고 다음 조건을 만족시키는 모든 수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $a_9$ 의 최댓값과 최솟값을 각각 $M, \; m$ 이라 할 때, $M+m$ 의 값은? (가) $a_7=40$ (나) 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$a_{n+2} = \begin{cases}a_{n+1}+a_n & (a_{n+1}\text{이 } 3\text{의 배수가 아닌 경우}) \\[10pt] \dfrac{1}{3}a_{n+1} & (a_{n+1}\text{이 }3\text{의 배수인 경우})\end{cases}$$ 이다. ① $216$ ② $218$ ③ $220$ ④ $222$ ⑤ $224$ 더보기 정답 ⑤
수직선 위를 움직이는 점 $\rm P$ 의 시각 $t \; (t \ge 0)$ 에서의 속도 $v(t)$ 와 가속도 $a(t)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $0 \le t \le 2 $ 일 때, $v(t)=2t^3-8t$ 이다. (나) $t \ge 2$ 일 때, $a(t)=6t+4$ 이다. 시각 $t=0$ 에서 $t=3$ 까지 점 $\rm P$ 가 움직인 거리를 구하시오. 더보기 정답 $17$
자연수 $n$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 를 $$f(x)=\begin{cases} \left |3^{x+2}-n \right | & (x
최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 와 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(4)$ 의 값을 구하시오. (가) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x)=f(1)+(x-1)f'(g(x))$ 이다. (나) 함수 $g(x)$ 의 최솟값은 $\dfrac{5}{2}$ 이다. (다) $f(0)=-3, \; f(g(1))=6$ 이다. 더보기 정답 $13$
연속확률변수 $X$ 가 갖는 값의 범위는 $0 \le X \le a$ 이고, $X$ 의 확률밀도함수의 그래프가 그림과 같다. ${\rm P}(X \le b) - {\rm P}(X \ge b)=\dfrac{1}{4}$ , ${\rm P} \left (X \le \sqrt{5} \right ) = \dfrac{1}{2}$ 일 때, $a+b+c$ 의 값은? (단, $a, \; b, \; c$ 는 상수이다.) ① $\dfrac{11}{2}$ ② $6$ ③ $\dfrac{13}{2}$ ④ $7$ ⑤ $\dfrac{15}{2}$ 더보기 정답 ④ 하
앞면에는 $1$ 부터 $6$ 까지의 자연수가 하나씩 적혀 있고 뒷면에는 모두 $0$ 이 하나씩 적혀 있는 $6$ 장의 카드가 있다. 이 $6$ 장의 카드가 그림과 같이 $6$ 이하의 자연수 $k$ 에 대하여 $k$ 번째 자리에 자연수 $k$ 가 보이도록 놓여 있다. 이 $6$ 장의 카드와 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다. 주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 $k$ 이면 $k$ 번재 자리에 놓여 있는 카드를 한 번 뒤집어 제자리에 놓는다. 위의 시행을 $3$ 번 반복한 후 $6$ 장의 카드에 보이는 모든 수의 합이 짝수일 때, 주사위의 $1$ 의 눈이 한 번만 나왔을 확률은 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더..
집합 $X=\{x|x$ 는 $10$ 이하의 자연수 $\}$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 $f: X \to X$ 의 개수를 구하시오. (가) $9$ 이하의 모든 자연수 $x$ 에 대하여 $f(x) \le f(x+1)$ 이다. (나) $1 \le x \le 5$ 일 때 $f(x) \le x$ 이고, $6 \le x \le 10$ 일 때 $f(x) \ge x$ 이다. (다) $f(6)=f(5)+6$ 더보기 정답 $100$
그림과 같이 중심이 $\rm O$ 이고 길이가 $2$ 인 선분 $\rm AB$ 를 지름으로 하는 반원 위에 $\angle {\rm AOC}=\dfrac{\pi}{2}$ 인 점 $\rm C$ 가 있다. 호 $\rm BC$ 위에 점 $\rm P$ 와 호 $\rm CA$ 위에 점 $\rm Q$ 를 $\overline{\rm PB}=\overline{\rm QC}$ 가 되도록 잡고, 선분 $\rm AP$ 위에 점 $\rm R$ 를 $\angle {\rm CQR}=\dfrac{\pi}{2}$ 가 되도록 잡는다. 선분 $\rm AP$ 와 선분 $\rm CO$ 의 교점을 $\rm S$ 라 하자. $\angle {\rm PAB}=\theta$ 일 때, 삼각형 $\rm POB$ 의 넓이를 $f(\theta)$, 사각형 ..