수악중독

정규분포를 따르는 두 확률변수 $X, \; Y$ 의 확률밀도함수를 각각 $f(x), \; g(x)$ 라 할 때, 모든 실수 $x$ 에 대하여 $$g(x)=f(x+6)$$ 이다. 두 확률변수 $X, \; Y$ 와 상수 $k$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) ${\rm P}(X \le 11)={\rm P}(Y \ge 23)$ (나) ${\rm P}(X \le k) + {\rm P}(Y \le k) = 1$ 아래 표준정규분포표를 이용하여 구한 ${\rm P}(X \le k) + {\rm P}(Y \ge k)$ 의 값이 $0.1336$ 일 때, ${\rm E}(X)+\sigma(Y)$ 의 값은? ① $\dfrac{41}{2}$ ② $21$ ③ $\dfrac{43}{2}$ ④ $22$ ⑤ $\dfrac{45}..

두 집합 $X=\{1, \; 2, \; 3, \; 4\}$, $Y=\{1, \; 2, \; 3, \; 4, \; 5, \; 6\}$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 $f:X \to Y$ 의 개수를 구하시오. (가) 집합 $X$ 의 임의의 두 원소 $x_1, \; x_2$ 에 대하여 $x_1 < x_2$ 이면 $f(x_1) \le f(x_2)$ 이다. (나) $f(1) \le 3$ (다) $f(3) \le f(1)+4$ 더보기 정답 $105$

주머니 $\rm A$ 에 흰 공 $3$ 개, 검은 공 $1$ 개가 들어 있고, 주머니 $\rm B$ 에도 흰 공 $3$ 개, 검은 공 $1$ 개가 들어 있다. 한 개의 동전을 사용하여 [실행 1] 과 [실행 2]를 순서대로 하려고 한다. [실행 1] 한 개의 동전을 던져 앞면이 나오면 주머니 $\rm A$ 에서 임의로 $2$ 개의 공을 꺼내어 주머니 $\rm B$ 에 넣고, 뒷면이 나오면 주머니 $\rm A$ 에서 임의로 $3$ 개의 공을 꺼내어 주머니 $\rm B$ 에 넣는다. [실행2] 주머니 $\rm B$ 에서 임의로 $5$ 개의 공을 꺼내어 주머니 $\rm A$ 에 넣는다. [실행 2]가 끝난 후 주머니 $\rm B$ 에 흰 공이 남아 있지 않을 때, [실행 1]에서 주머니 $\rm B$ 에 넣은..

닫힌구간 $[0, \; 4\pi]$ 에서 연속이고 다음 조건을 만족시키는 모든 함수 $f(x)$ 에 대하여 $\displaystyle \int_0^{4\pi} |f(x)|dx$ 의 최솟값은? (가) $0 \le x \le \pi$ 일 때, $f(x)=1-\cos x$ 이다. (나) $1 \le n \le 3$ 인 각각의 자연수 $n$ 에 대하여 $$f(n\pi+t)=f(n\pi)+f(t) \quad (0

그림과 같이 길이가 $2$ 인 선분 $\rm AB$ 를 지름으로 하는 반원이 있다. 선분 $\rm AB$ 의 중점을 $\rm O$ 라 하고 호 $\rm AB$ 위에 두 점 $\rm P, \; Q$ 를 $$\angle {\rm BOP}=\theta, \quad \angle {\rm BOQ}=2\theta$$ 가 되도록 잡는다. 점 $\rm Q$ 를 지나고 선분 $\rm AB$ 에 평행한 직선이 호 $\rm AB$ 와 만나는 점 중 $\rm Q$ 가 아닌 점을 $\rm R$ 라 하고, 선분 $\rm BR$ 가 두 선분 $\rm OP, \; OQ$ 와 만나는 점을 각각 $\rm S, \; T$ 라 하자. 세 선분 $\rm AO, \; OT, \; TR$ 와 호 $\rm RA$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 $f(..

최고차항의 계수가 $1$ 인 이차함수 $f(x)$ 에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $$g(x)=\ln \{f(x)+f'(x)+1\}$$ 이 있다. 상수 $a$ 와 함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $g(x)>0$이고 $\displaystyle \int_{2a}^{3a+x}g(t)dt = \int_{3a-x}^{2a+2} g(t)dt$이다. (나) $g(4)=\ln 5$ $\displaystyle \int_3^5 \{f'(x)+2a\}g(x)dx = m+n \ln 2$ 일 때, $m+n$ 의 값을 구하시오. (단, $m, \; n$ 은 정수이고, $\ln 2$ 는 무리수이다.) 더보기 정답 $12$

그림과 같이 한 평면 위에 반지름의 길이가 $4$ 이고 중심각의 크기가 $120^{\rm o}$ 인 부채꼴 $\rm OAB$ 와 중심이 $\rm C$ 이고 반지름의 길이가 $1$ 인 원 $C$ 가 있고, 세 벡터 $\overrightarrow{\rm OA}$, $\overrightarrow{\rm OB}$, $\overrightarrow{\rm OC}$ 가 $$\overrightarrow{\rm OA} \cdot \overrightarrow{\rm OC}=24, \quad \overrightarrow{\rm OB} \cdot \overrightarrow{\rm OC}=0$$ 을 만족시킨다. 호 $\rm AB$ 위를 움직이는 점 $\rm P$ 와 원 $C$ 위를 움직이는 점 $\rm Q$ 에 대하여 $\o..

두 점 ${\rm F}_1(4, \; 0)$, $\rm F_2(-6, \; 0)$ 에 대하여 포물선 $y^2=16x$ 위의 점 중 제$1$사분면에 있는 점 $\rm P$ 가 $\overline{\rm PF_2}-\overline{\rm PF_1}=6$ 을 만족시킨다. 포물선 $y^2=16x$ 위의 점 $\rm P$ 에서의 접선이 $x$ 축과 만나는 점을 $\rm F_3$ 이라 하면 두 점 $\rm F_1, \; F_3$ 을 초점으로 하는 타원의 한 꼭짓점은 선분 $\rm PF_3$ 위에 있다. 이 타원의 장축의 길이가 $2a$ 일 때, $a^2$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $54$

그림과 같이 한 변의 길이가 $4$ 인 정삼각형을 밑면으로 하고 높이가 $4+2\sqrt{3}$ 인 정삼각기둥 $\rm ABC-DEF$ 와 $\overline{\rm DG}=4$ 인 선분 $\rm AD$ 위의 점 $\rm G$ 가 있다. 점 $\rm H$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 삼각형 $\rm CGH$ 의 평면 $\rm ADEB$ 위로의 정사영은 정삼각형이다. (나) 삼각형 $\rm CGH$ 의 평면 $\rm DEF$ 위로의 정사영의 내부와 삼각형 $\rm DEF$ 의 내부의 공통부분의 넓이는 $2 \sqrt{3}$ 이다. 삼각형 $\rm CGH$ 의 평면 $\rm ADFC$ 위로의 정사영의 넓이를 $S$ 라 할 때, $S^2$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $48$