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목록2021/09/01 (50)
수악중독
그림과 같이 원 $x^2+y^2=1$ 과 직선 $y=ax \; (a>0)$ 이 만나는 서로 다른 두 점을 각각 $\rm A, \; B$ 라 하고, 점 $\rm A$ 를 지나고 직선 $y=ax$ 에 수직인 직선이 $x$ 축과 만나는 점을 $\rm C$ 라 하자. 다음은 점 ${\rm D}(0, \; -1)$ 에 대하여 두 삼각형 $\rm DAB$ 와 $\rm DCO$ 의 넓이를 각각 $S_1, \; S_2$ 라 할 때, $\dfrac{S_2}{S_1}=2$ 를 만족시키는 상수 $a$ 의 값을 구하는 과정이다. (단, $\rm O$ 는 원점이고, 점 $\rm A$ 의 $x$ 좌표는 양수이다.) 원 $x^2+y^2=1$ 과 직선 $y=ax$ 가 만나는 점 $\rm A$ 의 좌표는 $${\rm A} \left ..
좌표평면 위에 점 ${\rm A}(0, \; 1)$ 이 있다. 이차함수 $f(x)=\dfrac{1}{4}x^2$ 의 그래프 위의 점 ${\rm P} \left ( t, \; \dfrac{t^2}{4} \right )\; (t>0)$ 을 지나고 기울기가 $\dfrac{t}{2}$ 인 직선이 $x$ 축과 만나는 점을 $\rm Q$ 라 할 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $t=2$ 일 때, 점 $\rm Q$ 의 $x$ 좌표는 $1$ 이다. ㄴ. 두 직선 $\rm PQ$ 와 $\rm AQ$ 는 서로 수직이다. ㄷ. 선분 $\rm QA$ 를 $3:2$ 로 외분하는 점 $\rm R$ 가 함수 $y=f(x)$ 의 그래프 위의 점을 때, 삼각형 $\rm RQP$ 의 넓이는 $ 6\sqrt{3}$ 이..
좌표평면 위의 두 점 ${\rm A}(-1, \; -9)$, ${\rm B}(5, \; 3)$ 에 대하여 $\angle \rm APB=45^{\rm o}$ 를 만족시키는 점 $\rm P$ 가 있다. 서로 다른 세 점 $\rm A, \; B, \; P$ 를 지나는 원의 중심을 $\rm C$ 라 하자. 선분 $\rm OC$ 의 길이가 $k$ 라 할 때, $k$ 의 최솟값은? (단, $\rm O$ 는 원점이다.) ① $3$ ② $4$ ③ $5$ ④ $6$ ⑤ $7$ 더보기 정답 ②
좌표평면 위의 두 점 ${\rm A}(-1, \; 0), \; {\rm B}(1, \; 0)$ 을 지름의 양 끝점으로 하는 원 $C$ 가 있다. 점 $\rm A$ 를 지나고 기울기가 $m \; (0
연립부등식 $\begin{cases} 2x+5 \le 9 \\ |x-3| \le 7 \end{cases}$ 를 만족시키는 정수 $x$ 의 개수를 구하시오. 더보기 정답 $7$
좌표평면 위에 두 원 $C_1 \; : \; (x+6)^2+y^2=4$, $C_2 \; : \; (x-5)^2+(y+3)^2=1$ 과 직선 $l \; : \; y=x-2$ 가 있다. 원 $C_1$ 위의 점 $\rm P$ 에서 직선 $l$ 에 내린 수선의 발을 $\rm H_1$, 원 $C_2$ 위의 점 $\rm Q$ 에서 직선 $l$ 에 내린 수선의 발을 $\rm H_2$ 라 하자. 선분 $\rm H_1H_2$ 의 길이의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$ 이라 할 때, 두 수 $M, \; m$ 의 곱 $Mm$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $23$
그림과 같이 이차함수 $f(x)=-x^2+2kx+k^2+4 \; (k>0)$ 의 그래프가 $y$ 축과 만나는 점을 $\rm A$ 라 하자. 점 $\rm A$ 를 지나고 $x$ 축에 평행한 직선이 이차함수 $y=f(x)$ 의 그래프와 만나는 점 중 $\rm A$ 가 아닌 점을 $\rm B$ 라 하고, 점 $\rm B$ 에서 $x$ 축에 내린 수선의 발을 $\rm C$ 라 하자. 사각형 $\rm OCBA$ 의 둘레의 길이를 $g(k)$ 라 할 때, 부등식 $ 14 \le g(k) \le 78$ 을 만족시키는 모든 자연수 $k$ 의 값의 합을 구하시오. (단, $\rm O$ 는 원점이다.) 더보기 정답 $15$
제1사분면 위의 점 $\rm A$ 와 제3사분면 위의 점 $\rm B$ 에 대하여 두 점 $\rm A, \; B$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 두 점 $\rm A, \; B$ 는 직선 $y=x$ 위에 있다. (나) $\overline{\rm OB}=2\overline{\rm OA}$ 점 $\rm A$ 에서 $y$ 축에 내린 수선의 발을 $\rm H$, 점 $\rm B$ 에서 $x$ 축에 내린 수선의 발을 $\rm L$ 이라 하자. 직선 $\rm AL$ 과 직선 $\rm BH$ 가 만나는 점을 $\rm P$, 직선 $\rm OP$ 가 직선 $\rm LH$ 와 만나는 점을 $\rm Q$ 라 하자. 세 점 $=\rm O, \; Q, \; L$ 을 지나는 원의 넓이가 $ \dfrac{81}{2}\pi$ ..
좌표평면 위에 세 점 ${\rm A}(17, \; 0)$, ${\rm B}(5, \; 12)$, ${\rm C}(5, \; 5)$ 가 있다. 점 $\rm C$ 를 중심으로 하고 반지릉의 길이가 $r$ 인 원이 삼각형 $\rm OAB$ 와 서로 다른 세 점에서만 만나도록 하는 모든 $r$ 의 값의 곱을 구하시오. (단, $\rm O$ 는 원점이다.) 더보기 정답 $35$