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목록2021/09/01 (50)
수악중독
좌표평면에서 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $2$ 인 원 $C$ 와 두 점 ${\rm A}(2, \; 0)$ , ${\rm B}(0, \; -2)$ 가 있다. 원 $C$ 위에 있고 $x$ 좌표가 음수인 점 $\rm P$ 에 대하여 $\angle \rm PAB = \theta$ 라 하자. 점 ${\rm Q}(0, \; 2 \cos \theta)$ 에서 직선 $\rm BP$ 에 내린 수선의 발을 $\rm R$ 라 하고, 두 점 $\rm P$ 와 $\rm R$ 사이의 거리를 $f(\theta)$ 라 할 때, $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} f(\theta) d\theta$ 의 값은? ① $\dfrac{2\sqrt{3}-3}{2}$ ② $\sq..
이차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)=\{f(x)+2\} e^{f(x)}$ 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f(a)=6$ 인 $a$ 에 대하여 $g(x)$ 는 $x=a$ 에서 최댓값을 갖는다. (나) $g(x)$ 는 $x=b, \; x=b+6$ 에서 최솟값을 갖는다. 방정식 $f(x)=0$ 의 서로 다른 두 실근을 $\alpha, \; \beta$ 라 할 때, $(\alpha - \beta)^2$ 의 값을 구하시오. (단, $a, \; b$ 는 실수이다.) 더보기 정답 $24$
최고차항의 계수가 $9$ 인 삼차함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{\sin (\pi \times f(x))}{x}=0$ (나) $f(x)$ 의 극댓값과 극솟값의 곱은 $5$ 이다. 함수 $g(x)$ 는 $0 \le x
그림과 같이 두 점 ${\rm F}(c, \; 0), \; {\rm F'}(-c, \; 0) \; (c>0)$ 을 초점으로 하는 타원 $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1$ 위의 점 ${\rm P}(2, \; 3)$ 에서 타원에 접하는 직선을 $l$ 이라 하자. 점 $\rm F$ 를 지나고 $l$ 과 평행한 직선이 타원과 만나는 점 중 제2사분면 위에 있는 점을 $\rm Q$ 라 하자. 두 직선 $\rm F'Q$ 와 $l$ 이 만나는 점을 $\rm R$, $l$ 과 $x$ 축이 만나는 점을 $\rm S$ 라 할 때, 삼각형 $\rm SRF'$ 의 둘레의 길이는? ① $30$ ② $31$ ③ $32$ ④ $33$ ⑤ $34$ 더보기 정답 ①
그림과 같이 한 변의 길이가 $8$ 인 정사각형 $\rm ABCD$ 에 두 선분 $\rm AB, \; CD$ 를 각각 지름으로 하는 두 반원이 붙어 있는 모양의 종이가 있다. 반원의 호 $\rm AB$ 의 삼등분점 중 점 $\rm B$ 에 가까운 점을 $\rm P$ 라 하고, 반원의 호 $\rm CD$ 를 이등분하는 점을 $\rm Q$라 하자. 이 종이에서 두 선분 $\rm AB$ 와 $\rm CD$ 를 접는 선으로 하여 두 반원을 접어 올렸을 때, 두 점 $\rm P, \; Q$ 에서 평면 $\rm ABCD$ 에 내린 수선의 발을 각각 $\rm G, \; H$ 라 하면 두 점 $\rm G, \; H$ 는 정사각형 $\rm ABCD$ 의 내분에 놓여 있고, $\overline{\rm PG} = \sqrt..
좌표평면에서 세 점 ${\rm A}(-3, \; 1)$, ${\rm B}(0, \; 2)$, ${\rm C}(1, \; 0)$ 에 대하여 두 점 $\rm P, \; Q$ 가 $$\left | \overrightarrow{\rm AP} \right |= 1, \quad \left | \overrightarrow{\rm BQ} \right | = 2, \quad \overrightarrow{\rm AP} \cdot \overrightarrow{\rm OC} \ge \dfrac{\sqrt{2}}{2} $$ 를 만족시킬 때, $\overrightarrow{\rm AP} \cdot \overrightarrow{\rm AQ}$ 의 값이 최소가 되도록 하는 두 점 $\rm P, \; Q$ 를 각각 $\rm P_0, ..
두 자연수 $a, \; b$ 에 대하여 이차함수 $f(x)=a(x-2)(x-b)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(4)$ 의 값은? (가) $f(0)=6$ (나) $x$ 의 값의 범위가 $x>2$ 일 때, $f(x)>0$ 이다. ① $18$ ② $20$ ③ $22$ ④ $24$ ⑤ $26$ 더보기 정답 ①
$x$ 에 대한 삼차방정식 $x^3+(k-1)x^2-k=0$ 의 한 허근을 $z$ 라 할 때, $z+\overline{z}=-2$ 이다. 실수 $k$ 의 값은? (단, $\overline{z}$ 는 $z$ 의 켤레복소수이다.) ① $\dfrac{3}{2}$ ② $2$ ③ $\dfrac{5}{2}$ ④ $3$ ⑤ $\dfrac{7}{2}$ 더보기 정답 ②
그림과 같이 이차함수 $y=ax^2 \; (a>0)$ 의 그래프와 직선 $y=\dfrac{1}{2}x+1$ 이 서로 다른 두 점 $\rm P, \; Q$ 에서 만난다. 선분 $\rm PQ$ 의 중점 $\rm M$ 에서 $y$ 축에 내린 수선의 발을 $\rm H$ 라 하자. 선분 $\rm MH$ 의 길이가 $1$ 일 때, 선분 $\rm PQ$ 의 길이는? ① $4$ ② $\dfrac{9}{2}$ ③ $5$ ④ $\dfrac{11}{2}$ ⑤ $6$ 더보기 정답 ③
이차항의 계수가 $1$인 이차다항식 $P(x)$ 와 일차항의 계수가 $1$인 일차다항식 $Q(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 다항식 $P(x+1)-Q(x+1)$ 은 $x+1$ 로 나누어 떨어진다. (나) 방정식 $P(x)-Q(x)=0$ 은 중근을 갖는다. 다항식 $P(x)+Q(x)$ 를 $x-2$ 로 나눈 나머지가 $12$ 일 때, $P(2)$ 의 값은? ① $7$ ② $8$ ③ $9$ ④ $10$ ⑤ $11$ 더보기 정답 ②