수악중독

확률변수 $X$ 는 정규분포 ${\rm N} \left ( m, \; 2^2 \right )$, 확률변수 $Y$ 는 정규분포 ${\rm N} \left (m, \; \sigma^2 \right )$ 을 따른다. 상수 $a$ 에 대하여 두 확률변수 $X, \; Y$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $Y=3X-a$ (나) ${\rm P}(X \le 4) = {\rm P}(Y\ge a)$ ${\rm P}(Y \ge 9)$ 의 값을 오른쪽 표분정규분포표를 이용하여 구한것은? ① $0.0228$ ② $0.0668$ ③ $0.1587$ ④ $0.2417$ ⑤ $0.3085$ 더보기 정답 ⑤

$1, 2, 3, 4, 5$ 의 숫자가 하나씩 적힌 카드가 각각 $1$ 장, $2$ 장, $3$ 장, $4$ 장, $5$ 장이 있다. 이 $15$ 장의 카드 중에서 임의로 $2$ 장의 카드를 동시에 선택하는 시행을 한다. 이 시행에서 선택한 $2$ 장의 카드에 적힌 두 수의 곱의 모든 양의 약수의 개수가 $3$ 이하일 때, 그 두수의 합이 짝수일 확률은 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $25$

네 명의 학생 $\rm A, B, C, D$ 에게 검은 공 $4$ 개, 흰 공 $5$ 개, 빨간 공 $5$ 개를 다음 규칙에 따라 남김없이 나누어 주는 경우의 수를 구하시오. (단, 같은 색 공끼리는 서로 구별하지 않는다.) (가) 각 학생이 받는 공의 색의 종류의 수는 $2$ 이다. (나) 학생 $\rm A$ 는 흰 공과 검은 공을 받으며 흰 공보다 검은 공을 더 많이 받는다. (다) 학생 $\rm A$ 가 받는 공의 개수는 홀수이며 학생 $\rm A$ 가 받는 공의 개수 이상의 공을 받는 학생은 없다. 더보기 정답 $51$

그림과 같이 반지름의 길이가 $5$ 인 원에 내접하고, $\overline{\rm AB}=\overline{\rm AC}$ 인삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. $\angle {\rm BAC}=\theta$ 라 하고 점 $ \rm B$ 를 지나고 직선 $\rm ABC$ 에 수직인 직선이 원과 만나는 점 중 $\rm B$ 가 아닌 점을 $\rm D$, 직선 $\rm BD$ 와 직선 $\rm AC$ 가 만나는 점을 $\rm E$ 라 하자. 삼각형 $\rm ABC$ 의 넓이를 $f(\theta)$, 삼각형 $\rm CDE$ 의 넓이를 $g(\theta)$ 라 할 때, $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{g(\theta)}{\theta ^2 \times f(\theta)}$ 의 값..

함수 $f(x)=x^3-x$ 와 실수 전체의 집합에서 미분가능한 역함수가 존재하는 삼차함수 $g(x)=ax^3+x^2+bx+1$ 이 있다. 함수 $g(x)$ 의 역함수 $g^{-1}(x)$ 에 대하여 함수 $h(x)$ 를 $$h(x)= \begin{cases} \left ( f \circ g^{-1} \right )(x) & (x1) \\[10pt] \dfrac{1}{\pi} \sin \pi x & (0 \le x \le 1) \end{cases}$$이라 하자. 함수 $h(x)$ 가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, $g(a+b)$ 의 값을 구하시오. (단, $a, \; b$ 는 상수이다.) 더보기 정답 $15$

두 자연수 $a, b$ 에 대하여 이차함수 $f(x)=ax^2+b$ 가 있다. 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=\ln f(x)-\dfrac{1}{10}\{f(x)-1\}$$ 이라 하자. 실수 $t$ 에 대하여 직선 $y=|g(t)|$ 와 함수 $y=|g(x)|$ 의 그래프가 만나는 점의 개수를 $h(t)$ 라 하자. 두 함수 $g(x), h(t)$ 가 다음 조건을 만족한다. (가) 함수 $g(x)$ 는 $x=0$ 에서 극솟값을 갖는다. (나) 함수 $h(t)$ 가 $t=k$ 에서 불연속인 $k$ 의 값의 개수는 $7$ 이다. $\displaystyle \int_0^ae^xf(x) dx=me^a-19$ 일 때, 자연수 $m$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $586$

그림과 같이 평면 $\alpha$ 위에 있는 서로 다른 두 점 $\rm A, \; B$ 와 평면 $\alpha$ 위에 있지 않은 서로 다른 네 점 $\rm C, \; D, \; E, \; F$ 가 있다. 사각형 $\rm ABCD$ 는 한 변의 길이가 $6$ 인 정사각형이고 사각형 $\rm ABEF$ 는 $\overline{\rm AF}=12$ 인 직사각형이다. 정사각형 $\rm ABCD$ 의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영의 넓이는 $18$ 이고, 점 $\rm F$ 의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영을 $\rm H$ 라 하면 $\overline{\rm FH}=6$ 이다. 정사각형 $\rm ABCD$ 의 평면 $\rm ABEF$ 위로의 정사영의 넓이는? (단, $0

그림과 같이 좌표평면에서 포물선 $y^2=4x$ 의 초점 $\rm F$ 를 지나고 $x$ 축과 수직인 직선 $l_1$ 이 이 포물선과 만나는 서로 다른 두 점을 각각 $\rm A, B$ 라 하고, 점 $\rm F$ 를 지나고 기울기가 $m\ (m>0)$ 인 직선 $l_2$ 가 이 포물선과 만나는 서로 다른 두 점을 각각 $\rm C, \; D$ 라 하자. 삼각형 $\rm FCA$ 의 넓이가 삼각형 $\rm FDB$ 넓이의 $5$ 배일 때, $m$ 의 값은? (단, 두 점 $\rm A, \; C$ 는 제$1$사분면 위의 점이고, 두 점 $\rm B, \; D$ 는 제$4$사분면 위의 점이다. ) ① $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ② $1$ ③ $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ ④ $\dfra..

그림과 같이 $$\overline{\rm AB}=4, \; \overline{\rm CD}=8, \; \overline{\rm BC}=\overline{\rm BD}=4\sqrt{5}$$ 인 사면체 $\rm ABCD$ 에 대하여 직선 $\rm AB$ 와 평면 $\rm ACD$ 는 서로 수직이다. 두 선분 $\rm CD, \; DB$ 의 중점을 각각 $\rm M, \; N$ 이라 할 때, 선분 $\rm AM$ 위의 점 $\rm P$ 에 대하여 선분 $\rm DB$ 와 선분 $\rm PN$ 은 서로 수직이다. 두 평면 $\rm PDB$ 와 $\rm CDB$ 가 이루는 예각의 크기를 $\theta$ 라 할 때, $40 \cos ^2 \theta$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $25$

평면 위에 $$\overline{\rm OA}=2+2\sqrt{3},\;\overline{\rm AB}=4,\;\angle{\rm COA}=\dfrac{\pi}{3}, \angle{\rm A}=\angle{\rm B}=\dfrac{\pi}{2}$$ 를 만족시키는 사다리꼴 $\rm OABC$ 가 있다. 선분 $\rm AB$ 를 지름으로 하는 원 위의 점 $\rm P$ 에 대하여 $\overrightarrow{\rm OC}\cdot\overrightarrow{\rm OP}$ 의 값이 최대가 되도록 하는 점 $\rm P$ 를 $\rm Q$ 라 할 때, 직선 $\rm OQ$ 가 원과 만나는 점 중 $\rm Q$ 가 아닌 점을 $\rm D$ 라 하자. 원 위의 점 $\rm R$ 에 대하여 $\overrightar..