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목록2021/06 (46)
수악중독
$-1 \le t \le 1$ 인 실수 $t$ 에 대하여 $x$ 에 대한 방정식 $$\left ( \sin \dfrac{\pi x}{2} -t \right ) \left ( \cos \dfrac{\pi x}{2}-t \right ) =0$$ 의 실근 중에서 집합 $\{ x \; | \; 0 \le x
실수 $a$ 와 함수 $f(x)=x^3 -12x^2 +45x+3$ 에 대하여 함수 $$g(x)= \displaystyle \int_a^x \{f(x)-f(t)\} \times \{ f(t) \}^4 dt$$ 가 오직 하나의 극값을 갖도록 하는 모든 $a$ 의 값의 합을 구하시오. 더보기 정답 $8$
다음 조건을 만족시키는 최고차항의 계수가 $1$ 인 이차함수 $f(x)$ 가 존재하도록 하는 모든 자연수 $n$의 값의 합을 구하시오. (가) $x$ 에 대한 방정식 $\left (x^n - 64 \right ) f(x) = 0$ 은 서로 다른 두 실근을 갖고, 각각의 실근은 중근이다. (나) 함수 $f(x)$ 의 최솟값은 음의 정수이다. 더보기 정답 $24$
삼차함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 방정식 $f(x)=0$ 의 서로 다른 실근의 개수는 $2$ 이다. (나) 방정식 $f(x-f(x))=0$ 의 서로 다른 실근의 개수는 $3$ 이다. $f(1)=4, \; f'(1)=1, \; f'(0)>1$ 일 때, $f(0)=\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $61$
한 개의 주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 $3$ 이하이면 나온 눈의 수를 점수로 얻고, 나온 눈의 수가 $4$ 이상이면 $0$ 점을 얻는다. 이 주사위를 네 번 던져 나온 눈의 수를 차례로 $a, \; b, \; c, \; d$ 라 할 때, 얻은 네 점수의 합이 $4$ 가 되는 모든 순서쌍 $(a, \; b, \; c, \; d)$ 의 개수는? ① $187$ ② $190$ ③ $193$ ④ $196$ ⑤ $199$ 더보기 정답 ⑤
$1$ 부터 $6$ 까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 $6$ 개의 의자가 있다. 이 $6$ 개의 의자를 일정한 간격으로 두고 원형으로 배열할 때, 서로 이웃한 $2$ 개의 의자에 적혀 있는 수의 곱이 $12$ 가 되지 않도록 배열하는 경우의 수를 구하시오. (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) 더보기 정답 $48$
숫자 $1, \; 2, \; 3$ 이 하나씩 적혀 있는 $3$ 개의 공이 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는 시행을 한다. 이 시행을 $5$ 번 반복하여 확인한 $5$ 개의 수의 곱이 $6$ 의 배수일 확률이 $\dfrac{q}{p}$ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $47$
두 초점이 $\rm F, \; F'$ 이고 장축의 길이가 $2a$ 인 타원이 있다. 이 타원의 한 꼭짓점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $1$ 인 원이 이 타원의 서로 다른 두 꼭짓점과 한 초점을 지날 때, 상수 $a$ 의 값은? ① $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ② $\dfrac{\sqrt{6}-1}{2}$ ③ $\sqrt{3}-1$ ④ $2\sqrt{2}-2$ ⑤ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 더보기 정답 ③
포물선 $y^2=8x$ 와 직선 $y=2x-4$ 가 만나는 점 중 제$1$사분면 위에 있는 점을 $\rm A$ 라 하자. 양수 $a$ 에 대하여 포물선 $(y-2a)^2=8(x-a)$ 가 점 $\rm A$ 를 지날 때, 직선 $y=2x-4$ 와 포물선 $(y-2a)^2=8(x-a)$ 가 만나는 점 중 점 $\rm A$ 가 아닌 점을 $\rm B$ 라 하자. 두 점 $ \rm A, \; B$ 에서 직선 $x=-2$ 에 내린 수선의 발을 각각 $\rm C, \; D$ 라 할 때, $\overline{\rm AC} + \overline{\rm BD}-\overline{\rm AB} = k$ 이다. $k^2$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $80$
좌표평면 위에 네 점 ${\rm A}(2, \; 0), \; {\rm B}(0, \; 2), \; {\rm C}(-2, \; 0), \; {\rm D}(0, \; -2)$ 를 꼭짓점으로 하는 정사각형 $\rm ABCD$ 의 네 변 위의 두 점 $\rm P, \; Q$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\left ( \overrightarrow{\rm PQ} \cdot \overrightarrow{\rm AB} \right ) \left ( \overrightarrow{\rm PQ} \cdot \overrightarrow{\rm AD} \right ) = 0$ (나) $\overrightarrow{\rm OA} \cdot \overrightarrow{\rm OP} \ge -2$ 이고 $\overrigh..