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목록2020/05/22 (6)
수악중독
좌표평면에서 세 점 ${\rm O}(0, \; 0), \; {\rm A}\left ( \sqrt{2}, \; 0 \right ), \; {\rm B} \left (0, \; \sqrt{2} \right ) $ 가 있다. 점 $\rm O$ 를 중심으로 하는 원 $C$ 의 반지름의 길이가 $t$ 일 때, 삼각형 $\rm ABP$ 의 넓이가 자연수인 원 $C$ 위의 점 $\rm P$ 의 개수를 함수 $f(t)$ 라 하자. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, 점 $\rm P$ 는 직선 $\rm AB$ 위에 있지 않다. ) ㄱ. $f \left (\dfrac{1}{2} \right ) = 2$ ㄴ. $\lim \limits_{t \to 1+} f(t) \ne f(1)$ ㄷ. $0
그림과 같이 바둑판 모양의 도로망이 있다. 이 도로망은 정사각형 $R$ 와 같이 한 변의 길이가 $1$ 인 정사각형 $9$ 개로 이루어진 모양이다. 이 도로망을 따라 최단거리로 $\rm A$ 지점에서 출발하여 $\rm B$ 지점을 지나 다시 $\rm A$ 지점까지 돌아올 때, 다음 조건을 만족시키는 경우의 수를 구하시오.(가) 정사각형 $R$ 의 네 변을 모두 지나야 한다. (나) 한 변의 길이가 $1$ 인 정사각형 중 네 변을 모두 지나게 되는 정사각형은 오직 정사각형 $R$ 뿐이다. 정답 $40$
양의 실수 $t$ 와 최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $$g(t) = \dfrac{f(t)-f(0)}{t}$$ 이라 하자. 두 함수 $f(x)$ 와 $g(t)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.(가) 함수 $g(t)$ 의 최솟값은 $0$ 이다. (나) $x$ 에 대한 방정식 $f'(x)=g(a)$ 를 만족시키는 $x$ 의 값은 $a$ 와 $\dfrac{5}{3}$ 이다. (단, $a>\dfrac{5}{3}$ 인 상수이다.) 자연수 $m$ 에 대하여 집합 $A_m$ 을 $$A_m = \{x \; | \; f'(x)=g(m), \; 0
자연수 $k$ 에 대하여 집합 $A_k$ 를 $$A_k = \left \{ \left . \sin \dfrac{2(m-1)}{k}\pi ~\right |~ m은 \; 자연수 \right \} $$ 라 할 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $A_3 = \left \{ -\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \; 0, \; \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right \}$ ㄴ. $1$ 이 집합 $A_k$ 에 원소가 되도록 하는 두 자리 자연수 $k$ 의 개수는 $22$ 이다. ㄷ. $n(A_k)=11$ 을 만족시키는 모든 $k$ 의 값의 합은 $33$ 이다 ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ②
어느 학교 도서관에서 독서프로그램 운영을 위해 철학, 사회과학, 자연과학, 문학, 역사 분야에 해당하는 책을 각 분야별로 $10$ 권씩 총 $50$ 권을 준비하였다. 한 학급에서 이 $50$ 권의 책 중 $24$ 권의 책을 선택하려고 할 때, 다음 조건을 만족시키도록 선택하는 경우의 수를 구하시오. (단, 같은 분야에 해당하는 책은 서로 구별하지 않는다.)(가) 철학, 사회과학, 자연과학 각각의 분야에 해당하는 책은 $4$ 권 이상씩 선택한다. (나) 문학 분야에 해당하는 책은 선택하지 않거나 $4$ 권 이상 선택한다. (다) 역사 분야에 해당하는 책은 선택하지 않거나 $4$ 권 이상 선택한다. 정답 $396$
두 수열 $\{a_n\}, \; \{b_n\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가) $a_{2n} = b_n+2$ (나) $a_{2n+1} = b_n-1$ (다) $b_{2n} = 3a_n -2$ (라) $b_{2n+1} = -a_n +3$ $a_{48} = 9$ 이고 $\sum \limits_{n=1}^{63} a_n - \sum \limits_{n-=1}^{31} b_n = 155$ 일 때, $b_{32}$ 의 값을 구하시오. 정답 $79$