수악중독

함수 $$f(x) = \lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{\left ( \dfrac{x-1}{k} \right )^{2n} -1}{\left ( \dfrac{x-1}{k} \right ) ^{2n} +1} \;\; (k>0) $$ 에 대하여 함수 $$g(x)= \begin{cases} (f \circ f)(x) & (x=k) \\ (x-k)^2 & ( x \ne k) \end{cases}$$ 가 실수 전체의 집합에서 연속이다. 상수 $k$ 에 대하여 $(g \circ f)(k)$ 의 값은? ① $1$ ② $3$ ③ $5$ ④ $7$ ⑤ $9$ 정답 ⑤

다음 조건을 만족시키는 자연수 $a, \; b, \; c$ 의 모든 순서쌍 $(a, \; b, \; c)$ 의 개수를 구하시오. (가) $a, \; b, \; c$ 는 모두 짝수이다.(나) $a \times b \times c = 10^5$ 정답 $126$ $abc = 10^5 = 2^5 \times 5^5$ 이다. 따라서 다섯 개의 $2$ 와 다섯 개의 $5$ 를 $a, \; b, \; c$ 각각에 나눠주는 것으로 생각하면 된다.그련데 $a, \; b, \; c$ 가 모두 짝수이어야 하므로 $a, \; b, \; c$ 각각의 인수에는 하나 이상의 $2$ 가 포함되어야 한다.따라서 다섯 개의 $2$ 중에서 세 개를 $a, \; b, \; c$ 각각 하나씩 나눠주고 나머지 두 개의 $2$와 다섯 개의 $5..

두 실수 $a, \; b$ 에 대하여 두 함수 $$\begin{aligned}f(x) &=ax+b \\ g(x) &= \dfrac{1}{ax+b-2} +3 \end{aligned} $$ 이 다음 조건을 만족시키도록 하는 두 실수 $a, \; b$ 의 순서쌍 $(a, \; b)$ 를 좌표평면에 나타낸 영역을 $R$ 라 하자. (가) $x>0$ 일 때, $1

자연수 $n$ 에 대하여 열린 구간 $(3n-3, \; 3n)$ 에서 함수 $$f(x)=(2x-3n) \sin 2x - \left ( 2x^2 -6nx +4n^2 -1 \right ) \cos 2x$$가 $x=\alpha$ 에서 극대 또는 극소가 되는 모든 $\alpha$ 의 값의 합을 $a_n$ 이라 하자. $\cos a_m = 0$ 이 되도록 하는 자연수 $m$ 의 최솟값을 $l$ 이라 할 때, $\sum \limits_{k=1}^{l+2} a_k$ 의 값은? ① $7+\dfrac{45}{2}\pi$ ② $8+\dfrac{45}{2}\pi$ ③ $7+\dfrac{47}{2}\pi$ ④ $8+\dfrac{47}{2}\pi$ ⑤ $7+\dfrac{49}{2}\pi$ 정답 ①

그림과 같이 중심이 점 ${\rm A}(1, \; 0)$ 이고 반지름의 길이가 $1$ 인 원 $C_1$ 과 중심이 점 ${\rm B}(-2, \; 0)$ 이고 반지름의 길이가 $2$ 인 원 $C_2$ 가 있다. $y$ 축 위의 점 ${\rm P}(0, \; a)\;\; \left ( a > \sqrt{2} \right )$ 에서 원 $C_1$ 에 그은 접선 중 $y$ 축이 아닌 직선이 원 $C_1$ 과 접하는 점을 $\rm Q$, 원 $C_2$ 에 그은 접선 중 $y$ 축이 아닌 직선이 원 $C_2$ 와 접하는 점을 $\rm R$ 라 하고, $\angle \rm RPQ = \theta$ 라 하자. $\tan \theta = \dfrac{4}{3}$ 일 때, $(a-3)^2$ 의 값을 구하시오. 정답 $11$

삼차함수 $f(x)=x^3 +ax^2 +bx$ ($a, \;b$ 는 정수) 에 대하여 함수 $$g(x)=e^{f(x)}-f(x)$$ 는 $x=\alpha, \; x=-1, \; x=\beta \;\;( \alpha