수악중독

좌표평면에서 넓이가 $9$ 인 삼각형 $\rm ABC$ 의 세 변 $\rm AB, \; BC, \; CA$ 위를 움직이는 점을 각각 $\rm P, \; Q, \; R$ 라 할 때, $$\overrightarrow{\rm AX} = \dfrac{1}{4} \left ( \overrightarrow{\rm AP} + \overrightarrow{\rm AR} \right ) + \dfrac{1}{2} \overrightarrow{\rm AQ}$$ 를 만족시키는 점 $\rm X$ 가 나타내는 영역의 넓이가 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $53$

최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 와 최고차항의 계수가 $-1$ 인 이차함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(0, \; 0)$ 에서의 접선과 곡선 $y=g(x)$ 위의 점 $(2, \; 0)$ 에서의 접선은 모두 $x$ 축이다.(나) 점 $(2, \; 0)$ 에서 곡선 $y=f(x)$ 에 그은 접선의 개수는 $2$ 이다.(다) 방정식 $f(x)=g(x)$ 는 오직 하나의 실근을 가진다. $x>0$ 인 모든 실수 $x$ 에 대하여 $$g(x) \le kx-2 \le f(x)$$ 를 만족시키는 실수 $k$ 의 최댓값과 최솟값을 각각 $\alpha, \; \beta$ 라 할 때, $\alpha - \beta=a +b\sqrt{2}$ 이다 . $..

최고차항의 계수가 $6\pi$ 인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)=\dfrac{1}{2+\sin(f(x))}$ 이 $x=\alpha$ 에서 극대 또는 극소이고, $\alpha \ge 0$ 인 모든 $\alpha$ 를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 $\alpha_1, \; \alpha_2, \; \alpha_3, \; \alpha_4, \; \alpha_5, \; \cdots$ 라 할 때, $g(x)$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\alpha_1 = 0$ 이고 $g(\alpha_1) = \dfrac{2}{5}$ 이다. (나) $\dfrac{1}{g(\alpha_5)} = \dfrac{1}{g(\alpha_2)} + \dfrac{1}{2}$ $g' \left ( -\dfrac{..

좌표공간에서 점 ${\rm A}(0, \; 0, \; 2)$ 와 구 $x^2 +y^2 +z^2 =1$ 위의 두 점 $\rm P, \; Q$ 는 $$\left | \overrightarrow{\rm AP} \right | =2, \;\; \left | \overrightarrow{\rm PQ} \right | = \sqrt{3}$$ 을 만족시킨다. $\overrightarrow{\rm AP} \cdot \overrightarrow{\rm AQ}$ 의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$ 이라 할 때, $8(M-m)^2$ 의 값을 구하시오. 정답 $90$

구간 $(0, \; \infty)$ 에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\displaystyle \int_1^x f \left ( t^2 \right ) dt = 2xf(x)+4$ (나) $\displaystyle \int_1^e \dfrac{f(t)}{t} \; dt = 1+ \dfrac{1}{e^2} - \dfrac{3}{e^4}$ 함수 $g(x)= \displaystyle \int_0^{\ln x^2} f \left (e^t \right ) dt$ 에 대하여 $\displaystyle \int_1^e g(x) dx = k_1 e + \dfrac{k_2}{e} + \dfrac{k_3}{e^3} + k_4$ 일 때, $|k_1| + |k_2| + |k_3| + |k_..