수악중독

한 모서리의 길이가 $6$ 인 정사면체 $\rm ABCD$ 와 밑면의 중심이 $\rm O$ 인 반구가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 두 꼭짓점 $\rm A, \; B$ 는 반구 위에 있고 선분 $\rm AB$ 는 반구의 밑면과 평행하다.(나) 두 꼭짓점 $\rm C, \; D$ 는 반구의 밑면 위에 있고 점 $\rm O$ 는 선분 $\rm CD$ 의 중점이다. 점 $\rm C$ 를 지나고 반구의 밑면에 수직인 직선이 반구와 만나는 점을 $\rm H$ 라 하고, 선분 $\rm BC$ 의 중점을 $\rm M$ 이라 할 때, $\overrightarrow{\rm AM} \cdot \overrightarrow{\rm HM}$ 의 값을 구하시오. 정답 $9$

좌표공간에 평면 $\alpha : 2x+y+2z-9=0$ 과 구 $S:(x-4)^2+(y+3)^2+z^2=2$ 가 있다. $\left | \overrightarrow{\rm OP} \right | \le 3 \sqrt{2}$ 인 평면 $\alpha$ 위의 점 $\rm P$ 와 구 $S$ 위의 점 $\rm Q$ 에 대하여 $\overrightarrow{\rm OP} \cdot \overrightarrow{\rm OQ}$ 의 최댓값이 $a+b\sqrt{2}$ 일 때, $a+b$ 의 값을 구하시오. (단 점 $\rm O$ 는 원점이고, $a, \; b$ 는 유리수이다.) 정답 $21$

좌표평면에서 점 ${\rm A}(0, \; 12)$ 와 양수 $t$ 에 대하여 점 ${\rm P}(0, \; t)$ 와 점 $\rm Q$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\overrightarrow{\rm OA} \cdot \overrightarrow{\rm PQ} = 0$ (나) $\dfrac{t}{3} \le \left | \overrightarrow{\rm PQ} \right | \le \dfrac{t}{2}$ $6 \le t \le 12$ 에서 $ \left | \overrightarrow{\rm AQ} \right |$ 의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$ 이라 할 때, $Mm$ 의 값은? ① $12\sqrt{2}$ ② $14\sqrt{2}$ ③ $16\sqrt{2}$ ④ $18\sqrt{..

함수 $f(x)=\dfrac{x}{e^x}$ 에 대하여 구간 $\left [ \dfrac{12}{e^{12}}, \; \infty \right )$ 에서 정의된 함수 $$g(t) = \displaystyle \int_0^{12} | f(x) -t |\; dx$$ 가 $t=k$ 에서 극솟값을 갖는다. 방정식 $f(x)=k$ 의 실근의 최솟값을 $a$ 라 할 때, $g'(1) + \ln \left (\dfrac{6}{a} +1 \right ) $ 의 값을 구하시오. 정답 $18$

$1$ 부터 $10$ 까지의 자연수를 일렬로 배열할 때, 다음 두 가지 조건을 만족하는 방법의 수를 구하여라. (가) $1 \le i \le 9$ 일 때, ($i$ 번째의 수) $\ge i$ (나) ($10$ 번째의 수) $\le 10$ 정답 $512$

1. 함수 2. 서로 같은 함수 3. 함수의 그래프 4. 여러 가지 함수 5. 합성함수 6. 합성함수의 성질 7. 역함수 8. 역함수의 성질 9. 역함수의 그래프 10. 유리식의 계산 11. 부분분수와 번분수식 12. 유리함수와 유리함수의 그래프 13. 여러 가지 유리함수의 그래프 14. $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ 의 역함수 15. 무리식과 분모의 유리화 16. 무리함수와 무리함수의 그래프 17. 여러 가지 무리함수의 그래프 (보너스) 선대칭 도형과 점대칭 도형 이전 다음

함수 $f(x)=- \dfrac{kx^3}{x^2+1}~(k>1)$ 에 대하여 곡선 $y=f(x)$ 와 곡선 $y=f^{-1}(x)$ 가 만나는 점의 $x$ 좌표 중 가장 작은 값을 $\alpha$, 가장 큰 값을 $\beta$ 라 하자. 함수 $y=f(x-2\beta)+2\alpha$ 의 역함수 $g(x)$ 에 대하여 $f'(\beta) = 2g'(\alpha)$ 일 때, 상수 $k$ 의 값은? ① $\dfrac{5+2\sqrt{3}}{7}$ ② $\dfrac{6+2\sqrt{2}}{7}$ ③ $\dfrac{4+2\sqrt{2}}{5}$ ④ $\dfrac{5+2\sqrt{2}}{5}$ ⑤ $\dfrac{6+2\sqrt{2}}{5}$ 정답 ②

최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 와 실수 $t$ 가 다음 조건을 만족시킨다. 등식 $f(a)+1 = f'(a)(a-t)$ 를 만족시키는 실수 $a$ 의 값이 $6$ 하나뿐이기 위한 필요충분조건은 $-2

최고차항의 계수가 양수인 이차함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 $t$ 에 대하여 $\displaystyle \int_0^t f(x) dx = \int_{2a-t}^{2a}f(x)dx$ 이다. (나) $\displaystyle \int_a^2 f(x)dx = 2, ~~ \int_a^2|f(x)|dx= \dfrac{22}{9}$ $f(k)=0$ 이고 $k

함수 $$f(x)=\begin{cases} -x-\pi & (x\pi) \end{cases}$$ 가 있다. 실수 $t$ 에 대하여 부등식 $f(x) \le f(t)$ 를 만족시키는 실수 $x$ 의 최솟값을 $g(t)$ 라 하자. 예를 들어, $g(\pi) = -\pi$ 이다. 함수 $g(t)$ 가 $t=\alpha$ 에서 불연속일 때, $$\displaystyle \int_{-\pi}^\alpha g(t) dt = - \dfrac{7}{4} \pi^2 + p \pi + q$$ 이다. $100 \times | p+q |$ 의 값을 구하시오. (단, $p, ~q$ 는 유리수이다.) 정답 $350$