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미적분과 통계기본_경우의 수_이항정리_이항계수의 성질_난이도 상 본문

(9차) 확률과 통계 문제풀이/경우의 수

미적분과 통계기본_경우의 수_이항정리_이항계수의 성질_난이도 상

수악중독 2009.11.01 00:50
다음은 \(n\) 이 \(2\) 이상의 자연수일 때 \(\sum \limits _{k=1}^{n} k \left ( _n {\rm C} _k \right )^2\) 의 값을 구하는 과정이다.

두 다항식의 곱 \(\left ( a_0 +a_1 x + \cdots + a_{n-1} x^{n-1} \right ) \left ( b_0 + b_1 x + \cdots + b_n x^n \right ) \) 에서 \(x^{n-1}\) 의 계수는 \(a_0 b_{n-1} +a_1 b_{n-2} + \cdots + a_{n-1} b_0\;\;\;\cdots \cdots (*)\) 이다.
등식 \((1+x)^{2n-1} = (1+x)^{n-1} (1+x)^n \) 의 좌변에서 \(x^{n-1}\) 의 계수는 ( 가 )이고, \((*)\) 을 이용하여 우변에서 \(x^{n-1}\) 의 계수를 구하면 \(\sum \limits _{k=1}^{n} \left ( _{n-1} {\rm C} _{k-1} \times \;\;(나)\;\; \right )\) 이다. 
따라서 \((가) = \sum \limits _{k=1}^{n} \left ( _{n-1} {\rm C} _{k-1} \times (나) \right ) \) 이다.
한편, \(1 \le k \le n \) 일 때, \(k \times {_n {\rm C} _k} = n \times {_{n-1} {\rm C} _{k-1}}\) 이므로 \[\sum \limits _{k=1}^{n} k \left ( _n {\rm C} _k \right ) ^2 = \sum \limits _{k=1}^{n} \left (n \times _{n-1} {\rm C} _{k-1} \times (나) \right ) =n \times \sum \limits _{k=1}^{n} \left ( _{n-1} {\rm C} _{k-1} \times (나) \right )=(다)\] 이다. 


위의 과정에서 (가), (나), (다) 에 알맞은 것은?


(가) (나) (다)
\[_{2n} {\rm C} _{n}\] \[_{n} {\rm C} _{n-k+1}\] \[\frac{n}{2} \times {_{2n} {\rm C} _{n+1}}\]
\[_{2n-1} {\rm C} _{n-1}\] \[_{n} {\rm C} _{n-k+1}\] \[\frac{n}{2} \times {_{2n} {\rm C} _{n}}\]
\[_{2n-1} {\rm C} _{n-1}\] \[_{n} {\rm C} _{n-k}\] \[\frac{n}{2} \times {_{2n} {\rm C} _{n}}\]
\[_{2n} {\rm C} _{n}\] \[_{n} {\rm C} _{n-k+1}\] \[n \times {_{2n} {\rm C} _{n+1}}\]
\[_{2n-1} {\rm C} _{n-1}\] \[_{n} {\rm C} _{n-k}\] \[n \times {_{2n} {\rm C} _{n}}\]





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