그림과 같이 $a > 2$, $b > 0$인 두 실수 $a$, $b$에 대하여 곡선 $y = a^x + b$와 $y$축이 만나는 점을 지나고 $x$축에 평행한 직선을 $l$ 이라 하자. 직선 $l$ 위의 점 $\mathrm{A}$를 지나고 기울기가 $-1$인 직선이 두 곡선 $y = \log_a x + b$, $y = a^x + b$와 만나는 점을 각각 $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ 라 하고, $y$축과 만나는 점을 $\mathrm{D}$라 하자. $\overline{\mathrm{AB}} : \overline{\mathrm{BC}} : \overline{\mathrm{CD}} = 1 : 3 : 3$ 이고 삼각형 $\mathrm{OBC}$ 의 넓이가 $\dfrac{9}{2}$일 때, $20(a^3 + b)$의 값을 구하시오. (단, $\mathrm{O}$는 원점이고, 점 $\mathrm{A}$의 $x$좌표는 $a$보다 크다.)
