벡터 내적의 기하학적 의미_난이도 상 (2026년 6월 고3 기하 30번)

 

 

좌표평면에서 $\overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{AC}} = 2$, $\angle \mathrm{CAB} > \dfrac{\pi}{2}$인 이등변삼각형의 세 꼭짓점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$와 선분 $\mathrm{AB}$의 수직이등분선 위의 점 $\mathrm{D}$가 $$\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}} = \overrightarrow{\mathrm{CB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}}, \quad 2 \overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}} = \overrightarrow{\mathrm{DA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DB}}$$ 를 만족시킨다. 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 원 위를 움직이는 점 $\mathrm{X}$에 대하여 $\overrightarrow{\mathrm{DX}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 하자. $|M \times m| = \dfrac{q}{p}$ 일 때, $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.)

 

 

정답 $29$