그림과 같이 $\overline{\mathrm{AB}}=7$, $\overline{\mathrm{BC}}=13$, $\overline{\mathrm{CA}}=10$ 인 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 가 있다. 선분 $\mathrm{AB}$ 위의 점 $\mathrm{P}$ 와 선분 $\mathrm{AC}$ 위의 점 $\mathrm{Q}$ 를 $\overline{\mathrm{AP}}=\overline{\mathrm{CQ}}$ 이고 사각형 $\mathrm{PBCQ}$ 의 넓이가 $14\sqrt{3}$ 이 되도록 잡을 때, $\overline{\mathrm{PQ}}^2$ 의 값을 구하시오.
