경우의 수_조합_난이도 중하 (2021년 3월 전국연합 고2 18번)

 

 

어느 학교에서는 '확률과 통계', '미적분', '기하'의 수학 과목 $3$ 개와 '물리학II', '화학II', '생명과학II', '지구과학II' 의 과학 과목 $4$ 개를 선택 교육 과정으로 운영한다. 두 학생 $\rm A, \; B$ 가 이 $7$ 개의 과목 중에서 다음 조건을 만족시키도록 과목을 선택하려고 한다.

 

• $\rm A, \; B$ 는 각자 $1$ 개 이상의 수학 과목을 포함한 $3$ 개의 과목을 선택한다.
• $\rm A$ 가 선택하는 $3$ 개의 과목과 $\rm B$ 가 선택하는 $3$ 개의 과목 중에서 서로 일치하는 과목의 개수는 $1$ 이다.

 

다음은 $\rm A, \; B$ 가 과목을 선택하는 경우의 수를 구하는 과정이다.

 

$\rm A, \; B$ 가 선택하는 과목 중에서 서로 일치하는 과목이 수학 과목인 경우와

과학 과목인 경우로 나누어 구할 수 있다.

(i) 서로 일치하는 과목이 수학 과목일 때

     $3$ 개의 수학 과목 중에서 $1$ 개를 선택하는 경우의 수는 

       ${}_3 {\rm C}_1=3$

     위의 각 경우에 대하여 나머지 $6$ 개의 과목 중에서 $\rm A$ 가

     $2$ 개를 선택하고, 나머지 $4$ 개의 과목 중에서 $\rm B$ 가 $2$ 개를

     선택하는 경우의 수는 

       $\boxed{ (가) }$

     이때의 경우의 수는

       $3 \times \boxed{ (가) }$

(ii) 서로 일치하는 과목이 과학 과목일 때

     $4$ 개의 과학 과목 중에서 $1$ 개를 선택하는 경우의 수는

       ${}_4{\rm C}_1 = 4$

     위의 각 경우에 대하여 나머지 $6$ 개의 과목 중에서 $\rm A, \; B$는

     수학 과목을 $1$ 개 이상 선택해야 하므로 다음의 두 가지 경우로 

     나눌 수 있다.

     (ii-1) $\rm A, \; B$ 모두 수학 과목 $1$ 개와 과학과목 $1$ 개를

           선택하는 경우의 수는

            $\left ( {}_3 {\rm C}_1 \times {}_3{\rm C}_1 \right ) \times \left ( {}_2{\rm C}_1 \times {}_2{\rm C}_1 \right ) = 36$

     (ii-2) $\rm A, \; B$ 중 한 명은 수학 과목 $2$ 개를 선택하고, 다른 

          한 명은 수학 과목 $1$ 개와 과학 과목 $1$ 개를 선택하는 경우의 수는

            $\boxed{ (나) }$

          이때의 경우의 수는

            $4 \times \left (36 + \boxed{ (나) } \right )$

(i), (ii) 에 의하여 구하는 경우의 수는

$3 \times \boxed{ (가) } + 4 \times \left (36 + \boxed{ (나) } \right )$ 이다.

 

위의 (가), (나)에 알맞은 수를 각각 $p, \; q$ 라 할 때, $p+q$ 의 값은?

 

① $102$          ② $108$          ③ $114$          ④ $120$          ⑤ $126$

 

정답 ②