그림과 같이 길이가 $2$ 인 선분 $\rm AB$ 를 지름으로 하는 반원이 있다. 선분 $\rm AB$ 의 중점을 $\rm O$ 라 하고 호 $\rm AB$ 위에 두 점 $\rm P, \; Q$ 를 $$\angle {\rm BOP}=\theta, \quad \angle {\rm BOQ}=2\theta$$ 가 되도록 잡는다. 점 $\rm Q$ 를 지나고 선분 $\rm AB$ 에 평행한 직선이 호 $\rm AB$ 와 만나는 점 중 $\rm Q$ 가 아닌 점을 $\rm R$ 라 하고, 선분 $\rm BR$ 가 두 선분 $\rm OP, \; OQ$ 와 만나는 점을 각각 $\rm S, \; T$ 라 하자. 세 선분 $\rm AO, \; OT, \; TR$ 와 호 $\rm RA$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 $f(\theta)$ 라 하고, 세 선분 $\rm QT, \; TS, \; SP$ 와 호 $\rm PQ$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 $g(\theta)$ 라 하자. $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{g(\theta)}{f(\theta)}=a$ 일 때, $80a$ 의 값을 구하시오. (단, $0 < \theta < \dfrac{\pi}{4}$ )
