세 집합 $A, \; B, \; C$ 는 $$ \begin{aligned} A &= \left \{ (2+2\cos \theta, \; 2+2 \sin \theta) \left | -\dfrac{\pi}{3} \le \theta \le \dfrac{\pi}{3} \right . \right \}, \\[10pt] B &= \left \{ (-2+2 \cos \theta, \; 2+2 \sin \theta) \left | \dfrac{2\pi}{3} \le \theta \le \dfrac{4\pi}{3} \right . \right \}, \\[10pt] C &= \left \{ (a, \; b) | -3 \le a \le 3, \; b=2\pm \sqrt{3} \right \} \end{aligned}$$ 이다. 좌표평면에서 집합 $A \cup B \cup C$ 의 모든 원소가 나타내는 도형을 $X$ 라 하고, 도형 $X$ 와 곡선 $y=-\sqrt{3}x^2+2$ 가 만나는 점의 $y$ 좌표를 $c$ 라 하자. 집합 $X$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 $\alpha$, 곡선 $y=-\sqrt{3}x^2+2$ 와 직선 $y=c$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 $\beta$ 라 하자. $\alpha - \beta = \dfrac{p \pi + q \sqrt{3}}{3}$ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p, \; q$ 는 정수이다.)
