여러 가지 수열_수열의 합과 일반항과의 관계_난이도 중상 (2021년 11월 전국연합 고2 19번)

다음은 수열 $\{a_n\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$\sum \limits_{k=1}^n \left ( \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{n+1} \right )a_k=n^2$$ 을 만족시킬 때, $\sum \limits_{k=1}^n a_k$ 를 구하는 과정이다.

 

$T_n = \sum \limits_{k=1}^n \left ( \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{n+1} \right ) a_k$ 라 하자.

$({\rm i}) \; T_1=1$ 이므로 $a_1  =\boxed{ \text{ (가) }}$ 이다.

$( {\rm ii} ) \; 2$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 

     $T_n = n^2$ 에서

     $T_n - T_{n-1}=2n-1$ 이고

     $T_n = \sum \limits_{k=1}^n \dfrac{a_k}{k} - \dfrac{1}{\boxed{\text{ (나) }}} \times \sum \limits_{k=1}^n a_k$ 에서

     $T_n - T_{n-1} = \dfrac{1}{\boxed{\text{ (다) }}} \times \sum \limits_{k=1}^n a_k$ 이므로

     $\sum \limits_{k=1}^n a_k = (2n-1) \times \left ( \boxed{\text{ (다) }} \right )$ 이다.

$\rm (i), \; (ii)$ 에 의하여 모든 자연수 $n$ 에 대하여 

$\sum \limits_{k=1}^n a_k = (2n-1) \times \left ( \boxed{\text{ (다) }} \right )$ 이다.

 

(가)에 알맞은 수를 $p$, (나), (다)에 알맞은 식을 각각 $f(n), \; g(n)$ 이라 할 때, $f(2p) \times g(3p)$ 의 값은?

 

① $190$          ② $200$          ③ $210$          ④ $220$          ⑤ $230$

 

정답 ③