역함수의 미분법&합성함수의 미분법_난이도 상 (2021년 10월 전국연합 고3 미적분 30번)

서로 다른 두 양수 $a, \; b$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 를 $$f(x) = -\dfrac{ax^3+bx}{x^2+1}$$ 라 하자. 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f'(x) \ne 0$ 이고, 두 함수 $g(x)=f(x)-f^{-1}(x), \; h(x)=(g \circ f)(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) $g(2)=h(0)$

(나) $g'(2)=-5h'(2)$

 

$4(b-a)$ 의 값을 구하시오.

 

정답 $10$