수학적 귀납법_난이도 중 (2021년 9월 전국연합 고2 16번)

수열 $\{a_n\}$ 을 $a_n = \sum \limits_{k=1}^n \dfrac{1}{k}$ 이라 할 때, 다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 등식 $$a_1 +2a_2 +3a_3 + \cdots + n a_n = \dfrac{n(n+1)}{4}(2a_{n+1}-1) \quad \cdots (\bigstar)$$ 이 성립합을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

 

(i) $n=1$ 일 때, 

     $$\text{(좌변)}=a_1, \quad \text{(우변)}=a_2 - \boxed{ (가) }=1=a_1$$ $\quad$이므로 $(\bigstar)$ 가 성립한다.

(ii) $n=m$ 일 때, $(\bigstar)$ 가 성립한다고 가정하면 $$a_1 +2a_2 + 3a_3 + \cdots + ma_m = \dfrac{m(m+1)}{4}(2a_{m+1}-1)$$ 이다.

$\quad n=m+1$ 일 때, $(\bigstar)$ 이 성립함을 보이자. $$ \begin{aligned} a_1 &+ 2a_2 + 3a_3 + \cdots + ma_m+(m+1)a_{m+1} \\ &= \dfrac{m(m+1)}{4}(2a_{m+1}-1)+(m+1)a_{m+1} \\ &= (m+1)a_{m+1} \left ( \boxed{ (나) } + 1 \right ) - \dfrac{m(m+1)}{4} \\ &= \dfrac{(m+1)(m+2)}{2} \left ( a_{m+2} - \boxed{ (다) } \right ) - \dfrac{m(m+1)}{4} \\ &= \dfrac{(m+1)(m+2)}{4} (2a_{m+2}-1) \end{aligned}$$

$\quad$ 따라서 $n=m+1$ 일 때도 $(\bigstar)$ 가 성립한다.

(i), (ii)에 의하여 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$a_1 +2a_2 + 3a_3 + \cdots + na_n = \dfrac{n(n+1)}{4}(2a_{n+1}-1)$$ 이 성립한다. 

 

위의 (가)에 알맞은 수를 $p$, (나), (다)에 알맞은 식을 각각 $f(m), \; g(m)$ 이라 할 때, $p+\dfrac{f(5)}{g(3)}$ 의 값은?

 

① $9$          ② $10$          ③ $11$          ④ $12$          ⑤ $13$

 

정답 ⑤