로그함수의 그래프&함수의 극한_난이도 상 (2021년 9월 전국연합 고2 30번)

세 실수 $a \; (a \ne 0), \; b, \; k$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 를 $$f(x)= \begin{cases} ax^2 + (2b-3)x+a^2-3 & (x<k) \\ -\dfrac{1}{3}ax^2+(b+5)x+a^2-1 & (x \ge k) \end{cases}$$ 라 하자. 함수 $$g(x)=\lim \limits_{t \to x+}\dfrac{|f(t)|}{f(t)} - \lim \limits_{t \to x-} \dfrac{|f(t)|}{f(t)}$$ 에 대하여 두 함수 $f(x), \; g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) 임의의 실수 $\alpha$ 에 대하여 $\lim \limits_{x \to \alpha} f(x)$ 가 존재한다.

(나) 두 함수 $y=g(x)$ 와 $y=-4 \left | \log_2 \dfrac{x}{2} \right | + 2$ 의 그래프의 서로 다른 교점의 개수는 $5$ 이다.

 

$k=p+q\sqrt{17}$ 일 때, $ 16(p+q)$ 의 값을 구하시오. (단, $p, \; q$ 는 유리수이다.)

 

정답 $28$