로그의 성질&수열의 점화식_난이도 중상 (2021년 7월 경찰대 25번)

두 집합 $X, \; Y$ 를 $$\begin{aligned} X &= \{ \{a_n\}  |  \{a_n\}  \text{은 모든 항이 자연수인 수열이고,} \log a_n + \log a_{n+1} = 2n \} \\ Y &= \{a_4  |  \{a_n\} \in X \}\end{aligned}$$ 라 하자. 집합 $Y$ 의 모든 원소의 합이 $p \times 100$ 일 때, $p$ 의 값을 구하시오.

 

정답  $217$