함수의 연속&함수의 미분가능성_난이도 상 (2021년 7월 사관학교 미적분 30번)

최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $$g(x)= \begin{cases} f(x) & (0 \le x \le 2) \\[10pt] \dfrac{f(x)}{x-1} & (x<0  \text{  또는  } x>2) \end{cases}$$가 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) 함수 $g(x)$ 는 실수 전체의 집합에서 연속이고, $g(2) \ne 0$ 이다.

(나) 함수 $g(x)$ 가 $x=a$ 에서 미분가능하지 않은 실수 $a$ 의 개수는 $1$ 이다.

(다) $g(k)=0, \; g'(k)=\dfrac{16}{3}$ 인 실수 $k$ 가 존재한다.

 

함수 $g(x)$ 의 극솟값이 $p$ 일 때, $p^2$ 의 값을 구하시오.

 

정답 $64$