벡터의 합의 최대와 최소_난이도 상 (2021년 4월 전국연합 고3 기하 29번)

좌표평면 위에 네 점 ${\rm A}(-2, \; 0)$, ${\rm B}(1, \; 0)$, ${\rm C}(2, \; 1)$, ${\rm D}(0, \; 1)$ 이 있다. 반원의 호 $(x+1)^2 +y^2=1 \;\; (0 \le y\le 1)$ 위를 움직이는 점 $\rm P$ 와 삼각형 $\rm BCD$ 위를 움직이는 점 $\rm Q$ 에 대하셔 $\left | \overrightarrow{\rm OP} + \overrightarrow{\rm AQ} \right |$ 의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$ 이라 하자.

$M^2+m^2=p+2\sqrt{q}$ 일 때, $p \times q$ 의 값을 구하시오. (단, $\rm O$ 는 원점이고, $p$ 와 $q$ 는 유리수이다.)

 

정답 $115$