자연수 $n$ 에 대하여 곡선 $y=x^2$ 위의 점 ${\rm P}_n \left (2n, \; 4n^2 \right )$ 에서의 접선과 수직이고 점 ${\rm Q}_n \left (0, \; 2n^2 \right )$ 을 지나는 직선을 $l_n$ 이라 하자. 점 ${\rm P}_n$ 을 지나고 점 ${\rm Q}_n$ 에서 직선 $l_n$ 과 접하는 원을 $C_n$ 이라 할 때, 원점을 지나고 원 $C_n$ 의 넓이를 이등분하는 직선의 기울기를 $a_n$ 이라 하자. $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{n}$ 의 값을 구하시오.
