지수법칙&등차수열_난이도 중 (2020년 12월 수능 가형 16번)

상수 $k\; (k>1)$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 수열 $\{a_n\}$ 이 있다.

 

모든 자연수 $n$ 에 대하여 $a_n <a_{n+1}$ 이고 곡선 $y=2^x$ 위의 두 점 ${\rm P}_n \left (a_n , \; 2^{a_n} \right ), \;\; {\rm P}_{n+1} \left (a_{n+1}, \; 2^{a_{n+1}} \right )$ 을 지나는 직선의 기울기는 $k \times 2^{a_n}$ 이다.

 

점 ${\rm P}_n$ 을 지나고 $x$ 축에 평행한 직선과 점 ${\rm P}_{n+1}$ 을 지나고 $y$ 축에 평행한 직선이 만나는 점을 ${\rm Q}_n$ 이라하고 삼각형 ${\rm P}_n {\rm Q}_n {\rm P}_{n+1}$ 의 넓이를 $A_n$ 이라 하자. 

다음은 $a_1 = 1, \; \dfrac{A_3}{A_1}=16$ 일 때, $A_n$ 을 구하는 과정이다.

 

두 점 ${\rm P}_n, \; {\rm P}_{n+1}$ 을 지나는 직선의 기울기가 $k \times 2^{a_n}$ 이므로 $$ 2^{a_{n+1}-a_n} = k ( a_{n+1}-a_n)+1$$ 이다. 즉, 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $a_{n+1}-a_n$ 은 방정식 $2^x = kx +1$ 의 해이다.

$k>1$ 이므로 방정식 $2^x=kx+1$ 은 오직 하나의 양의 실근 $d$ 를 갖는다. 따라서 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $a_{n+1}-a_n=d$ 이고, 수열 $\{a_n\}$ 은 공차가 $d$ 인 등차수열이다.

점 ${\rm Q}_n$ 의 좌표가 $\left ( a_{n+1}, \; 2^{a_n} \right )$ 이므로 $$A_n = \dfrac{1}{2} (a_{n+1} - a_n ) \left ( 2^{a_{n+1}}-2^{a_n} \right )$$ 이다. $\dfrac{A_3}{A_1} = 16$ 이므로 $d$ 의 값은 $\boxed{ \; (가) \; }$ 이고 수열 $\{a_n\}$ 의 일반항은 $$a_n = \boxed{ \; (나) \; }$$ 이다. 따라서 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $A_n = \boxed{ \; (다) \; }$ 이다.

 

위 (가)에 알맞은 수를 $p$, (나)와 (다)에 알맞은 식을 각각 $f(n), \; g(n)$ 이라 할 때, $p+\dfrac{g(4)}{f(2)}$ 의 값은?

 

① $118$          ② $121$          ③ $124$          ④ $127$          ⑤ $130$

 

정답 ⑤