그림과 같이 한 변의 길이가 $\sqrt{3}$ 인 정사각형 $\rm ABCD$ 가 있다. 선분 $\rm AD$ 위의 점 $\rm E$ 와 반직선 $\rm BC$ 위의 점 $\rm F$ 를 꼭짓점으로 하는 정삼각형 $\rm BFE$ 를 그리고, 선분 $\rm EF$ 가 두 선분 $\rm BD, \; CD$ 와 만나는 점을 각각 $\rm G, \; H$ 라 하자. 삼각형 $\rm EBG$ 의 외접원의 넓이가 $\left ( p+q\sqrt{3} \right ) \pi$ 일 때, $p^2+q^2$ 의 값을 구하시오. (단, $p, \; q$ 는 정수이다.)
