경우의 수&수학적 귀납법_난이도 중하 (2020년 10월 교육청 고3 나형 18번)

$3$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 $$A_n = \{(p, \; q)\; | \; p<q \;이고 \; p, \; q \; 는 \; n \; 이하의 \; 자연수\}$$ 이다. 집합 $A_n$ 의 모든 원소 $(p, \; q)$ 에 대하여 $q$ 의 값의 평균을 $a_n$ 이라 하자. 다음은 $3$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 $a_n = \dfrac{2n+2}{3}$ 임을 수학적 귀납법을 이용하여 증명한 것이다.

 

$(\rm i)$ $n=3$ 일 때, $A_3 = \{(1, \; 2), \; (1, \; 3), \; (2, \; 3)\}$ 이므로 $a_3 = \dfrac{2+3+3}{3} = \dfrac{8}{3}$ 이고 $\dfrac{2 \times 3 + 2}{3}=\dfrac{8}{3}$ 이다. 그러므로 $a_n = \dfrac{2n+2}{3}$ 가 성립한다.

$(\rm ii)$ $n=k\; (k \ge 3)$ 일 때, $a_k = \dfrac{2k+2}{3}$ 가 성립한다고 가정하자. $n=k+1$ 일 때, $$A_{k+1} = A_k \cup \{ (1, \; k+1), \; (2, \; k+1), \; \cdots, \; (k, \; k+1)\}$$ 이고 집합 $A_k$ 의 원소의 개수는 $\boxed{\; (가) \; }$ 이므로 $$a_{k+1} = \dfrac{\boxed{\; (가)\; } \times \dfrac{2k+2}{3} + \boxed{\; (나)\;}}{{}_{k+1}{\rm C}_2} = \dfrac{2k+4}{3}=\dfrac{2(k+1)+2}{3}$$ 이다. 따라서 $n=k+1$ 일 때도 $a_n = \dfrac{2n+2}{3}$ 이 성립한다.

$\rm (i), \; (ii)$ 에 의하여 $3$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 $a_n = \dfrac{2n+2}{3}$ 이다.

 

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $f(k), \; g(k)$ 라 할 때, $f(10)+g(9)$ 의 값은?

 

① $131$          ② $133$          ③ $135$          ④ $137$          ⑤ $139$

 

정답 ③