도형과 등비급수_난이도 중 (2020년 9월 교육청 고3 가형 15번)

그림과 같이 $\overline{\rm OA_1}=\sqrt{3}, \; \overline{\rm OB_1}=\sqrt{2}, \; \angle {\rm OB_1A_1}=90^{o}$ 인 직각삼각형 $\rm B_1OA_1$ 이 있다. 점 $\rm B_1$ 에서 선분 $\rm OA_1$ 에 내린 수선의 발을 $\rm A_2$ 라 하고 점 $\rm A_2$ 에서 두 선분 $\rm OB_1, \; B_1A_1$ 에 내린 수선의 발을 각각 $\rm B_2, \; C_1$ 이라 할 때, 두 삼각형 $\rm B_1B_2A_2$ 와 $C_1A_2A_1$ 에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자.

그림 $R_1$ 의 점 $\rm B_2$ 에서 선분 $\rm OA_2$ 에 내린 수선의 발을 $\rm A_3$ 이라 하고 점 $\rm A_3$ 에서 두 선분 $\rm OB_2, \; B_2A_2$ 에 내린 수선의 발을 각각 $\rm B_3, \; C_2$ 라 할 때, 두 삼각형 $\rm B_2B_3A_3$ 과 $\rm C_2A_3A_2$ 에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$ 라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$ 번째 얻은 그림 $R_n$ 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} S_n$ 의 값은?

 

① $\dfrac{4\sqrt{2}}{15}$          ② $\dfrac{3\sqrt{2}}{10}$          ③ $\dfrac{\sqrt{2}}{3}$          ④ $\dfrac{11\sqrt{2}}{30}$          ⑤ $\dfrac{2\sqrt{2}}{5}$

 

정답 ②