삼각함수의 극한 & 극한의 성질_난이도 상 (2020년 9월 평가원 고3 가형 28번)

그림과 같이 길이가 $2$ 인 선분 $\rm AB$ 를 지름으로 하는 반원이 있다. 선분 $\rm AB$ 의 중점을 $\rm O$ 라 할 때, 호 $\rm AB$ 위에 두 점 $\rm P, \; Q$ 를 $\angle \rm POA = \theta$, $\angle \rm QOB = 2 \theta$ 가 되도록 잡는다. 두 선분 $\rm PB, \; OQ$ 의 교점을 $\rm R$ 라 하고, 점 $\rm R$ 에서 선분 $\rm PQ$ 에 내린 수선의 발을 $\rm H$ 라 하자. 삼각형 $\rm POR$ 의 넓이를 $f(\theta)$, 두 선분 $\rm RQ, \; RB$ 와 호 $\rm QB$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 $g(\theta)$ 라 할 때, $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{f(\theta) + g(\theta)}{\overline{\rm RH}} = \dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $0 <\theta < \dfrac{\pi}{3}$ 이고 $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.)

 

정답 $23$