벡터의 내적 활용_난이도 상 (2019년 9월 평가원 고3 가형 29번)

좌표공간에서 원점 $\rm O$ 와 점 $\rm A(4, \; 0, \; 0)$ 에 대하여 평면 $x+y+\sqrt{2}z=0$ 위의 점 $\rm P$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\left | \overrightarrow{\rm OP} \right |$ 는 $9$ 이하의 자연수이다.

(나) $\overrightarrow{\rm OA} \cdot \overrightarrow{\rm AP} = 6$ 

$\overrightarrow{\rm AP} \cdot \overrightarrow{\rm OP}$ 의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$ 이라 할 때, $M+m$ 의 값을 구하시오. 

정답 $86$