(이과) 변화율 관련 고전_난이도 상 (2004년 9월 평가원 가형 29번)

단면의 넓이가 $120 \left (\rm m^2 \right)$ 로 일정한 원통형의 물탱크에 물이 $5(\rm m)$ 까지 차 있다. 이 물탱크의 바닥 중앙에 있는 넓이 $\dfrac{1}{5} \left (\rm m^2 \right)$ 인 구멍으로 물이 빠지고 있다. 물탱크의 바닥으로부터 수면까지의 높이가 $y(\rm m)$ 일 때, 빠져나가는 물의 속력 $v(\rm m/s)$ 는 $v=\sqrt{20y}$ 로 주어진다고 하자. 다음은 이 식을 이용해서 물의 높이가 $5(\rm m)$ 에서 $\dfrac{5}{4}(\rm m)$ 로 줄어들 때가지 걸리는 시간을 계산한 것이다.

$v$ 와 $y$ 가 시간에 따라 변하므로 $v$ 와 $y$ 의 관계식 $v=\sqrt{20y}$ 를 $t$ 에 관하여 미분하여 $v$ 와 $y$ 의 시간에 따른 변화율 사이의 관계식을 구하면 $$\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{10}{\sqrt{20y}}\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{10}{v}\dfrac{dy}{dt}\;\; \cdots\cdots\;\;(1)$$ 한편, 물탱크에 있는 물의 양의 순간변화율은 그 순간 빠져나가는 물의 양과 부호만 다르므로 $$\boxed{    \;\;(가)\;\;    }\;\; \cdots\cdots\;\; (2)$$ (2) 식에서 얻은 $\dfrac{dy}{dt}$ 를 (1)의 식에 대입하여 정리하면 $$\dfrac{dv}{dt}=-\dfrac{1}{60}$$ 따라서 구하는 시간은 $\boxed{\;\;(나)\;\;}$ (초) 이다. 

위 풀이에서 (가), (나)에 알맞을 것을 차례로 나열한 것은?

	(가)	(나)
①	$120\dfrac{dy}{dt}=-\dfrac{v}{5}$	$240$
②	$120\dfrac{dy}{dt}=-\dfrac{v}{5}$	$300$
③	$120\dfrac{dy}{dt}=-\dfrac{v}{10}$	$180$
④	$120\dfrac{dy}{dt}=-\dfrac{v}{10}$	$240$
⑤	$120\dfrac{dy}{dt}=-\dfrac{v}{10}$	$300$

정답 ②