함수의 그래프와 미분_난이도 상 (2016년 11월 수능 가형 30번)

$x>a$ 에서 정의된 함수 $f(x)$ 와 최고차항의 계수가 $-1$ 인 사차함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (단, $a$ 는 상수이다.)

(가) $x>a$ 인 모든 실수 $x$ 에 대하여 $(x-a)f(x)=g(x)$ 이다.

(나) 서로 다른 두 실수 $\alpha, \; \beta$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 는 $x= \alpha$ 와 $x=\beta$에서 동일한 극댓값 $M$ 을 갖는다. (단, $M>0$)

(다) 함수 $f(x)$ 가 극대 또는 극소가 되는 $x$ 의 개수는 함수 $g(x)$ 가 극대 또는 극소가 되는 $x$ 의 개수보다 많다.

$\beta - \alpha = 6 \sqrt{3}$ 일 때, $M$ 의 최솟값을 구하시오.

정답 $216$