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수학1_수학적 귀납법_괄호채우기_난이도 중 본문
다음은 모든 자연수 \( n \) 에 대하여 부등식
\( 1 + \dfrac{1}{2} + \cdots + \dfrac{1}{n} \geq 2 \left\{ \dfrac{1}{1 \cdot 2 } + \dfrac{1}{2\cdot 3 } + \cdots + \dfrac {1}{n(n+1)} \right\} \)
이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하는 과정이다.
(i) \( n=1 \) 일 때, \( (좌변)=1 \geq 2 \times \dfrac {1}{1 \cdot 2 } = (우변) \) 이므로 주어진 부등식은 성립한다.
(ii) \( n=k \; (k \geq 1 ) \) 일 때, 주어진 부등식이 성립한다고 가정하면
\( 1 + \dfrac{1}{2} + \cdots + \dfrac{1}{k} \geq 2 \left\{ \dfrac{1}{1 \cdot 2 } + \dfrac{1}{2\cdot 3 } + \cdots + \dfrac {1}{k(k+1)} \right\} \)
이 식의 양변에 \( \dfrac{1}{k+1} \) 을 더하면
\( 1 + \dfrac{1}{2} + \cdots + \dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{k+1} \)
\( \geq 2 \left\{ \dfrac{1}{1 \cdot 2 } + \dfrac{1}{2\cdot 3 } + \cdots + \dfrac {1}{k(k+1)} \right\} + \dfrac{1}{k+1} \)
\( \geq 2 \left\{ \dfrac{1}{1 \cdot 2 } + \dfrac{1}{2 \cdot 3 } + \cdots + \dfrac {1}{k(k+1)} \right\} + \dfrac{1}{k+2} \)
\( = 2 \left\{ \dfrac{1}{1 \cdot 2 } + \dfrac{1}{2 \cdot 3 } + \cdots + \dfrac {1}{k(k+1)} \right\} + \dfrac{1}{k+1} \cdot (가) \)
\( \geq 2 \left\{ \dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3 } + \cdots + \dfrac{1}{k(k+1)} \right\} + \dfrac{(나)}{(k+1)(k+2)} \)
\( = 2 \left\{ \dfrac{1}{1 \cdot 2 } + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \cdots + \dfrac{1}{(k+1)(k+2)} \right\} \)
\( \therefore 1 + \dfrac{1}{2} + \cdots + \dfrac{1}{k+1} \)
\( \geq 2 \left\{ \dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \cdots + \dfrac{1}{(k+1)(k+2)} \right\} \)
따라서 \( n=k+1 \) 일 때도 주어진 부등식은 성립한다.
(i), (ii)에 의해서 주어진 부등식은 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 성립한다.
위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 내용을 바르게 짝지은 것은?
① \( \dfrac{1}{k+1} , \; 1 \) ② \( \dfrac{1}{k+1}, \; 2\) ③ \( \dfrac{1}{k+2} , \; 1 \)
④ \(\dfrac{k+1}{k+2} , \; 1 \) ⑤ \(\dfrac{k+1}{k+2} , \; 2 \)