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목록적분과 통계 (70)
수악중독
실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\) 가 모든 실수 \(t\) 에 대하여 \(\displaystyle \int_0^2 xf(tx) dx=4t^2\) 을 만족시킬 때, \(f(2)\) 의 값은? ① \(1\) ② \(2\) ③ \(3\) ④ \(4\) ⑤ \(5\) 정답 ④
두 연속함수 \(f(x),\;g(x)\) 가 \[g\left( {{e^x}} \right) = \left\{ {\begin{array}{ll} {f\left( x \right)}&{\left( {0 \le x < 1} \right)}\\ {g\left( {{e^{x - 1}}} \right) + 5}&{\left( {1 \le x \le 2} \right)} \end{array},\;\;\; \displaystyle \int_1^{{e^2}} {g\left( x \right)dx = 6{e^2} + 4} } \right.\] 를 만족시키고, \(\displaystyle \int _1 ^e f(\ln x) dx =ae+b\) 일 때, \(a^2+b^2\) 의 값을 구하시오. 정답 \(17\)
닫힌 구간 \([0,\;4]\) 에서 정의된 함수 \(y=f(x)\) 의 그래프가 그림과 같다. \(\displaystyle \int _1^2 \dfrac{f \left ( x^2 \right )}{x} dx=p \ln 2 +q\) 일 때, \(10p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(p\) 와 \(q\) 는 유리수이다.) 정답 \(29\)
연속함수 \(f(x)\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(f(2)=1\)(나) \(\displaystyle \int _0 ^2 f(x) dx = \dfrac{1}{4}\) \(\lim \limits_{n \to \infty} \sum \limits_{k=1}^n \left \{ f \left ( \dfrac{2k}{n} \right ) - f \left ( \dfrac{2k-2}{n} \right ) \right \} \dfrac{k}{n} \) 의 값은? ① \(\dfrac{3}{4}\) ② \(\dfrac{4}{5}\) ③ \(\dfrac{5}{6}\) ④ \(\dfrac{6}{7}\) ⑤ \(\dfrac{7}{8}\) 정답 ⑤
그림과 같이 반지름의 길이가 1인 원에 내접하는 정삼각형 \(\rm ABC\) 가 있다. 호 \(\rm BC\) 를 \(n\) 등분하여 양 끝점을 포함한 각 등분점을 차례로 \[{\rm P}_0 (={\rm B}), {\rm P}_1,\; {\rm P}_2 ,\; {\rm P}_3,\; \cdots, \; {\rm P}_{n-1}, \;{\rm P}_n (={\rm C})\] 이라 할 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{\pi}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} \overline{{\rm AP}_k}\) 의 값은? ① \(6\) ② \(7\) ③ \(8\) ④ \(9\) ⑤ \(10\) 정답 ①
실수 전체에서 함수 \(f(x)=(x^2+a)e^x\) 의 역함수가 존재하기 위한 상수 \(a\) 의 최소값을 \(m\) 이라 하자. 함수 \(g(x)=\left ( x^2+m \right ) e^x\)의 역함수를 \(h(x)\) 라 할 때, \(\displaystyle \int _{m}^{2e} h(x) dx\) 의 값은? ① \(1\) ② \(2\) ③ \(3\) ④ \(4\) ⑤ \(5\) 정답 ③
두 함수 \(f(x), \; g(x)\) 가 모든 실수 \(x\) 에 대하여 다음 조건을 만족시킬 떄, \(f(0)\) 의 값은? (단, \(a\) 는 상수이다.) (가) \(\displaystyle \int _{\frac{\pi}{2}}^{x} f(t) dt = \{ g(x) +a \} \sin x -2\) (나) \(g(x)=\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(t) dt \cos x +3\) ① \(1\) ② \(2\) ③ \(3\) ④ \(4\) ⑤ \(5\) 정답 ④
연속함수 \(y=f(x)\) 의 그래프가 원점에 대하여 대칭이고, 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \[ f(x)=\dfrac{\pi}{2} \displaystyle \int _1 ^{x+1} f(t) dt \] 이다. \(f(1)=1\) 일 때, \[ \pi ^2 \displaystyle \int _0^1 xf(x+1) dx\] 의 값은? ① \(2(\pi-2)\) ② \(2\pi -3\) ③ \(2(\pi-1)\) ④ \(2\pi -1\) ⑤ \(2\pi\) 정답 ①
곡선 \(y=x(x+1)^4\) 에서 \(x\) 좌표가 \(t \; (t>0)\) 인 점을 \(\rm A\) 라 하자. 점 \(\rm B\) 가 곡선 \(y=\dfrac{4}{x}\; (x
실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(f(x)\) 가 \[f(1)=2,\;\;f(e+1)=4e+4,\;\; \displaystyle \int _1^e \dfrac{f(x+ \ln x)}{(x+1)^2} dx = 10\] 을 만족시킬 때, \(\displaystyle \int _1^e \dfrac{f'(x + \ln x)}{x} dx\) 의 값은? ① \(-7\) ② \(-1\) ③ \(5\) ④ \(13\) ⑤ \(17\) 정답 ④