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그림과 같이 좌표평면에서 꼭짓점이 원점 \(\rm O\) 이고 초점이 \(\rm F\) 인 포물선과 점 \(\rm F\) 를 지나고 기울기가 \(1\) 인 직선이 만나는 두 점을 각각 \(\rm A,\;B\) 라 하자. 선분 \(\rm AF\) 를 대각선으로 하는 정사각형의 한 변의 길이가 \(2\) 일 때, 선분 \(\rm AB\) 의 길이는 \(a+b\sqrt{2}\) 이다. \(a^2 +b^2 \) 의 값을 구하시오. (단, \(a,\; b\) 는 정수이다.) 정답 128
아래 그림과 같이 쌍곡선 \( {\displaystyle \frac{x^2}{4}}-y^2 =1\) 과 점 \( {\rm P} \left ( \sqrt{5},\;{\displaystyle \frac{1}{2}} \right ) \) 에서 만나는 타원 \({\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\Large \frac {y^2}{b^2}} =1 \) 이 있다 점 \(\rm P\) 를 접점으로 하는 쌍곡선의 접선과 타원의 접선이 서로 수직으로 만날 때, \(b^2 = {\displaystyle \frac{q}{p}}\) 이다. \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(p,\;q\) 는 서로소인 자연수이다.) 정답 9
쌍곡선 \({\dfrac{x^2}{4}}-{\dfrac{y^2}{5}}=1\) 의 두 초점을 \(\rm F,\;F'\) 이라 하자. 쌍곡선 위의 한 점 \(\rm P\) 에 대하여 \(\angle {\rm F'PF}\) 의 이등분선이 \(x\) 축과 점 \({\rm A}(1,\;0)\) 에서 만날 때, 삼각형 \(\rm PF'F\) 의 둘레의 길이를 구하시오. 정답 18
좌표평면에서 원점 \(\rm O\) 를 중심으로 하고, 두 초점 \(\rm F,\;F'\) 이 \(x\) 축 위에 있는 쌍곡선 위의 임의의 점 \(\rm P\) 에 대하여 \(\overline {\rm PF},\;\overline {\rm PO},\;\overline {\rm PF'}\) 이 이 순서대로 등비수열을 이룬다. 이 때, 이 쌍곡선 위의 점 \((x,\;y)\) 에 대하여 \(\lim \limits_{x \to \infty } \left| {\dfrac{y}{x}} \right|\) 의 값은? ① \(1\) ② \(2\) ③ \(\Large \frac{1}{2} \) ④ \(\sqrt{3}\) ⑤ \(\Large \frac{\sqrt{3}}{3}\) 정답 ① 관련개념 [수능 수학] - 파푸스의..
점 \({\rm P}(1,\;0)\) 을 지나는 직선 \(l\) 이 포물선 \(y^2 =4x\) 와 만나는 두 점을 각각 \(\rm A,\;B\) 라 하고, \(\rm A,\;B\) 에서 직선 \(x=-1\) 에 내린 수선의 발을 각각 \(\rm C,\;D\) 라 하자. \(\overline {\rm AC}\;:\;\overline {\rm BD}=3\;:\;2\) 이고, 두 점 \(\rm A,\;B\) 의 \(x\) 좌표를 각각 \(\alpha,\;\beta\) 라 할 때, \(\sqrt{\alpha}-\sqrt{\beta}\) 의 값은? ① \(1\) ② \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) ③ \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) ④ \(\dfrac{\sqrt{5}}{5}\) ⑤ \(\d..
타원 \({\dfrac {x^2}{16}} + {\dfrac{y^2}{4}} = 1\) 위의 점 \( {\rm P} \left ( x_1 ,\; y_1 \right )\) 에서 그은 접선이 \(x\) 축, \(y\) 축과 만나는 점을 각각 \(\rm A,\; B\) 라 할 때, \(\overline {\rm AB} ^2 \) 의 최솟값을 구하시오. 정답 36
다음 그림과 같이 쌍곡선 \({\dfrac{x^2}{9}} - {\dfrac{y^2}{16}} = 1\) 위의 동점 \({\rm P} \left ( x,\;y \right ) \) 와 이 쌍곡선의 두 초점 \(\rm F,\; F'\) 가 있다. 삼각형 \(\rm PFF'\) 의 내접원 \(\rm O'\) 와 \( \overline {\rm FF'}\) 와 접하는 점을 \(\rm Q\) 라 할 때, 두 선분 \(\rm QF\)와 \(\rm QF'\) 의 길이의 곱 \( \overline {\rm QF} \times \overline {\rm QF'} \) 의 값을 구하시오. 정답 16
한 변의 길이가 \(2\) 인 정사각형 \(\rm ABCD\) 의 각 변의 중점을 각각 \(\rm E,\; F,\; G,\; H\) 라고 하자. 그림과 같이 합동인 \(4\) 개의 포물선으로 둘러싸인 어두운 부분의 넓이가 \(\dfrac{b\sqrt{2}}{a}- \dfrac{d}{c}\) 일 때, \(a+b+c+d\) 의 값을 구하시오. (단, \(a\) 와 \(b\), \(c\) 와 \(d\) 는 각각 서로소인 자연수이다.) 정답 21
점근선의 방정식이 \(y= \sqrt{2} x,\;y=-\sqrt{2} x\) 이고 \(x\) 축과 만나는 두 점 사이의 거리가 \(4\) 인 쌍곡선이 있다. 원점 \(\rm O\) 와 이 쌍곡선 위의 한 점 \(\rm P\) 를 잇는 선분 \(\rm OP\) 의 길이를 \(d\) 라 할 때, \(\overline {\rm PF'} \cdot \overline {\rm PF} \) 의 값을 \(d\) 를 이용하여 나타내면? (단, \(\rm F,\;F'\) 는 이 쌍곡선의 초점이다.) ① \(4d\) ② \(4+d^2\) ③ \(4+2d\) ④ \(2d\) ⑤ \(d^2\) 정답 ②
그림과 같이 직선 \(y=x-1\) 과 타원 \({\Large \frac{x^2}{m}} + {\Large \frac{y^2}{n}} = 1\) \( (m>n>0) \) 이 서로 다른 두 점 \(\rm M,\;N\) 에서 만난다. 원점 \(\rm O\) 와 선분 \(\rm MN\) 의 중점 \(\rm P\) 를 잇는 직선이 \(x\) 축과 이루는 양의 각이 \(150^o\) 일 때, \(\Large \frac{m}{n}\) 의 값은? ① \(\Large \frac{6}{5}\) ② \(\Large \frac{4}{3}\) ③ \(\sqrt{2}\) ④ \(\sqrt{3}\) ⑤ \(\Large \frac{3 \sqrt{3}}{2}\) 정답 ④