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수악중독
다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$ \dfrac{4}{3} + \dfrac{8}{3^2} + \dfrac{12}{3^3} + \cdots + \dfrac{4n}{3^n}=3-\dfrac{2n+3}{3^n} \cdots\cdots(*)$$ 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. (1) $n=1$ 일 때, (좌변)=$\dfrac{4}{3}$, (우변)=$3-\dfrac{5}{3}=\dfrac{4}{3}$ 이므로 $(*)$ 이 성립한다.(2) $n=k$ 일 때, $(*)$ 이 성립한다고 가정하면 $\dfrac{3}{4}+\dfrac{8}{3^2}+\dfrac{12}{3^3} +\cdots+\dfrac{4k}{3^k}=3-\dfrac{2k+3}{3^k}$ 이다. 위 등식의 양변에 $\dfrac{4..
집합 $X=\{0, \;1, \;2, \;3, \;4\}$ 의 모든 원소 $x$ 에 대하여 $X$ 에서 $X$ 로의 함수 $f(x)$ 는 '$2x$ 를 $5$ 로 나눈 나머지' 로 정의하고, $X$ 에서 $X$ 로의 함수 $g(x)$ 는 $(f \circ g)(x)=(g \circ f)(x)$ 를 만족시킨다. $g(1)=3$ 일 때, $ g(0)+g(3)$ 의 값은? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 정답 ④
어떤 지역의 먼지농도에 따른 대기오염 정도는 여과지에 공기를 여과시켜 헤이즈계수를 계산하여 판별한다. 과화학적 밀도가 일정하도록 여과지 상의 빛을 분산시키는 고형물의 양을 헤이즈계수 $H$, 여과지 이동거리를 $L(m)\;(L>0)$, 여과지를 통과하는 빛전달률을 $S(0
그림과 같이 자연수 $n$ 에 대하여 곡선 $y=x^2$ 위의 점 ${\rm A}_n \left (n, \; n^2 \right )$ 을 지나고 기울기가 $-\sqrt{3}$ 인 직선이 $x$ 축과 만나는 점을 ${\rm B}_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{\overline{{\rm OB}_n}}{\overline{{\rm OA}_n}}$ 의 값은 (단, $\rm O$ 는 원점이다.)① $\dfrac{\sqrt{3}}{7}$ ② $\dfrac{\sqrt{3}}{6}$ ③ $\dfrac{\sqrt{3}}{5}$ ④ $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$ ⑤ $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ 정답 ⑤
세 함수 $f(x)=\sqrt{x+2}, \; g(x)=-\sqrt{x-2}+2, \; h(x)=x$ 가 있다. 함수 $y=h(x)$ 의 그래프 위의 점 ${\rm P}(a, \; a)$ 를 지나고 $x$ 축에 평행한 직선이 함수 $y=f(x)$ 의 그래프와 만나는 점을 $\rm A$, 함수 $y=g(x)$ 와 만나는 점을 $\rm B$ 라 하자. 점 $\rm B$ 를 지나고 $y$ 축에 평행한 직선이 함수 $y=h(x)$ 의 그래프와 만나는 점을 $\rm C$ 라 할 때, $\lim \limits_{a \to 2-} \dfrac{\overline{\rm BC}}{\overline{\rm AB}}$ 의 값은? (단, $0
좌표평면에서 $x, \; y$ 에 대한 연립부등식 $$\left\{ {\begin{array}{ll}{x \ge 0}\\{y \ge \left| {{e^x} - 2} \right|}\end{array}} \right.$$ 가 나타내는 영역을 $D$ 라 하자. 양의 실수 $t$ 에 대하여 영역 $D$ 의 서로 다른 네 점을 꼭짓점으로 하는 정사각형 $A$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 정사각형 $A$ 의 한 변의 길이는 $t$ 이다. (나) 정사각형 $A$ 의 한 변은 $x$ 축과 평행하다. 정사각형 $A$ 의 두 대각선의 교점의 $y$ 좌표의 최솟값을 $f(t)$ 라 할 때, $f'(\ln2)+f'(\ln 5)=\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p, \;q$ 는..
그림과 같이 길이가 $2$ 인 선분 $\rm AB$ 를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 $\rm AB$ 위의 한 점 $\rm P$ 에 대하여 $\angle {\rm PAB}=\theta$ 라 하자. 선분 $ \rm PB$ 의 중점 $\rm M$ 에서 선분 $\rm PB$ 에 접하고 호 $\rm PB$ 에 접하는 원의 넓이를 $S(\theta)$, 선분 $\rm AP$ 위에 $\rm \overline{AQ}=\overline{BQ}$ 가 되도록 하는 점 $\rm Q$ 를 잡고 삼각형 $\rm ABQ$ 에 내접하는 원의 넓이를 $T(\theta)$ 라 하자. $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{\theta ^2 \times T(\theta)}{S(\theta)}$ 의 값을 구하..
다음 조건을 만족시키는 자연수 $ x, \; y, \; z, \;w$ 의 모든 순서쌍 $(x, \; y, \; z, \;w)$ 의 개수를 구하시오. (가) $x+y+z+w=18$(나) $x, \; y, \; z, \; w$ 중에서 $2$ 개는 $3$ 으로 나눈 나머지가 $1$ 이고, $2$ 개는 $3$ 으로 나눈 나머지가 $2$ 이다. 정답 $210$
모든 실수 $x$ 에 대하여 연속인 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x+2)=f(x)$ 이다.(나) $0 \le x \le 1$ 일 때, $f(x)=\sin \pi x +1$ 이다.(다) $1