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목록(9차) 미적분 II 문제풀이/적분 (128)
수악중독
반지름의 길이가 \(1\)인 반구 모양의 그릇에 물이 가득 차 있었다. 그림과 같이 이 그릇을 \(\theta\) \( \left ( 0
함수 \(f(x)\)는 다음 두 조건을 만족한다. (가) \(f(0)=0,\; f(1)=1,\;f~'(0)={\Large \frac{1}{3}},\;f~'(1)=2\) (나) 구간 \((0,\;1)\)에서 \(f~'(x)>0,\;f~''(x)>0\) 함수 \(f(x)\) 의 역함수를 \(g(x)\) 라 하고, \(g(x)\) 의 이계도함수가 존재할 때, 정적분 \[\int_0^1 {\left| {{{g''\left( {g\left( x \right)} \right)} \over {f~'\left( {g\left( x \right)} \right)}}} \right|} \;dx\] 의 값을 구하시오. 정답 2.5
함수 \(f(x)=\sqrt{[x]+1-\left ( x- [x] \right )^2 }\;\; (x \ge 0)\) 과 직선 \(x=n-1,\; x=n\) 및 \(x\) 축으로 둘러싸인 도형을 \(x\) 축의 둘레로 회전시킨 도형의 부피를 \(V_n\) 이라 할 때, \(\lim \limits _{n \to \infty} \dfrac{\sum \limits _{k=1}^{n} V_k }{n^2}\) 의 값은? (단, \([x]\) 는 \(x\) 보다 크지 않은 최대의 정수) ① \(\dfrac{\pi}{2}\) ② \(\pi\) ③ \(\dfrac{3\pi}{2}\) ④ \(2\pi\) ⑤ \(\dfrac{5\pi}{2}\) 정답 ①
\(xy\) 평면 위에서 움직이는 점 \(\rm P\)는 \(t=0\)일 때, 원점을 출발하여 \(t\)초 후에는 \( (x(t),\;y(t))\)에 위치한다. 그리고 \(x(t),\;y(t)\)가 각각 아래의 식을 만족한다고 한다. \({\Large \frac{dx}{dt}}=x+k,\;{\Large \frac{dy}{dt}}=2y+1\) 점 \(\rm P\)가 점 \((1,\;4)\)을 통과한다고 할 때, \(\Large \frac{1}{k}\)의 값을 구하시오. 정답 2
곡선 \(y=\ln x\) 의 \(x=\sqrt{3}\) 에서 \(x=2\sqrt{2}\) 까지의 길이를 구하면? ① \(2+{\Large \frac{1}{2}} \ln 3\) ② \(2+{\Large \frac{1}{2}} \ln {\Large \frac{3}{2}}\) ③ \(1+{\Large \frac{1}{2}} \ln 3\) ④ \(1+{\Large \frac{1}{2}} \ln 2\) ⑤ \(1+{\Large \frac{1}{2}} \ln {\Large \frac{3}{2}}\) 정답 ⑤
오른쪽 그림과 같이 중심이 원점이고 반지름의 길이가 \(4\)인 원 \({\rm C}_1\) 의 내부에서 반지름의 길이가 1인 원 \({\rm C}_2\) 를 \({\rm C}_1\) 에 접하면서 미끄러지지 않게 굴린다. 이 때, 원 \({\rm C}_2\) 위의 점 \(\rm P\) 의 처음 위치가 \((4,\;0)\) 이라면, 점 \(\rm P\) 의 시각 \(t\)에서의 위치는 \(\left ( 4\cos ^3 t,\;4 \sin ^3 t \right )\) 가 된다고 한다. 점 \(\rm P\) 가 처음 위치로 돌아올 때까지 움직인 거리를 구하시오. 정답 24 마지막에 에서 를 적분하면 가 아니라 로 해야 하네요. 그런데 계산할 때는 또 로 생각하고 계산해서 답은 제대로 나왔네요..ㅠㅠ 죄송합니다..
넓은 마루에 간격이 \(2\sqrt{3}\) 인 평행선들이 무수히 그어져 있다. 길이가 \(4\) 인 바늘을 이 마루에 떨어뜨렸을 때, 이 바늘이 평행선과 만날 확률을 구하시오. 정답은 풀이 참조
곡선 \(y=\dfrac{a}{x} +b \;\; (a>0,\; b
오른쪽 그림과 같이 점 \({\rm P} (x,\;y)\) 가 원 \(x^2 +y^2 =4\) 의 \(y \ge 0 \) 인 부분을 움직일 때, 세 점 \({\rm A}(-2,\;0),\; {\rm P}(x,\;y),\;{\rm B}(2,\;0)\) 를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 \(S(x)\) 라 하자. \({\displaystyle \int}_{- 2}^2 {S(x)} \;dx = k\) 라 할 때, \(\dfrac {k}{\pi}\) 의 값을 구하시오. 정답 4
\(x>0\) 일 때, 함수 \(f(x)=\displaystyle \int _{x}^{x+1} \left (t+{\dfrac{2}{t}} \right ) dt\) 의 최솟값은? ① \({\dfrac{1}{2}} + \ln 2\) ② \({\dfrac{3}{2}} + \ln 2\) ③ \({\dfrac{5}{2}} + \ln 2\) ④ \({\dfrac{1}{2}} + 2\ln 2\) ⑤ \({\dfrac{3}{2}} +2 \ln 2\) 정답 ⑤