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목록2018/10/17 (5)
수악중독
함수 $f(x)=- \dfrac{kx^3}{x^2+1}~(k>1)$ 에 대하여 곡선 $y=f(x)$ 와 곡선 $y=f^{-1}(x)$ 가 만나는 점의 $x$ 좌표 중 가장 작은 값을 $\alpha$, 가장 큰 값을 $\beta$ 라 하자. 함수 $y=f(x-2\beta)+2\alpha$ 의 역함수 $g(x)$ 에 대하여 $f'(\beta) = 2g'(\alpha)$ 일 때, 상수 $k$ 의 값은? ① $\dfrac{5+2\sqrt{3}}{7}$ ② $\dfrac{6+2\sqrt{2}}{7}$ ③ $\dfrac{4+2\sqrt{2}}{5}$ ④ $\dfrac{5+2\sqrt{2}}{5}$ ⑤ $\dfrac{6+2\sqrt{2}}{5}$ 정답 ②
최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 와 실수 $t$ 가 다음 조건을 만족시킨다. 등식 $f(a)+1 = f'(a)(a-t)$ 를 만족시키는 실수 $a$ 의 값이 $6$ 하나뿐이기 위한 필요충분조건은 $-2
최고차항의 계수가 양수인 이차함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 $t$ 에 대하여 $\displaystyle \int_0^t f(x) dx = \int_{2a-t}^{2a}f(x)dx$ 이다. (나) $\displaystyle \int_a^2 f(x)dx = 2, ~~ \int_a^2|f(x)|dx= \dfrac{22}{9}$ $f(k)=0$ 이고 $k
함수 $$f(x)=\begin{cases} -x-\pi & (x\pi) \end{cases}$$ 가 있다. 실수 $t$ 에 대하여 부등식 $f(x) \le f(t)$ 를 만족시키는 실수 $x$ 의 최솟값을 $g(t)$ 라 하자. 예를 들어, $g(\pi) = -\pi$ 이다. 함수 $g(t)$ 가 $t=\alpha$ 에서 불연속일 때, $$\displaystyle \int_{-\pi}^\alpha g(t) dt = - \dfrac{7}{4} \pi^2 + p \pi + q$$ 이다. $100 \times | p+q |$ 의 값을 구하시오. (단, $p, ~q$ 는 유리수이다.) 정답 $350$
그림과 같이 평면 $\alpha$ 위에 중심이 점 $\rm A$ 이고 반지름의 길이가 $\sqrt{3}$ 인 원 $C$ 가 있다. 점 $\rm A$ 를 지나고 평면 $\alpha$ 에 수직인 직선 위의 점 $\rm B$ 에 대하여 $\overline{\rm AB}=3$ 이다. 원 $C$ 위의 점 $\rm P$ 에 대하여 원 $D$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 선분 $\rm BP$ 는 원 $D$ 의 지름이다.(나) 점 $\rm A$ 에서 원 $D$ 를 포함하는 평면에 내린 수선의 발 $\rm H$ 는 선분 $\rm BP$ 위에 있다. 평면 $\alpha$ 위에 $\overline{\rm AX}=5$ 인 점 $\rm X$ 가 있다. 점 $\rm P$ 가 원 $C$ 위를 움직일 때, 원 $D$ 위의 점..