수악중독

함수 $f(x)=(x-1)|x-a|$ 의 극댓값이 $1$ 일 때, $\displaystyle \int_0^4 f(x) dx$ 의 값은? (단, $a$ 는 상수이다.) ① $\dfrac{4}{3}$ ② $\dfrac{3}{2}$ ③ $\dfrac{5}{3}$ ④ $\dfrac{11}{6}$ ⑤ $2$ 정답 ①

전체집합 $U=\{2, \; 2^2, \; 2^3, \; 2^4, \; 2^5, \; 2^6\}$ 의 서로 다른 부분집합을 $A_i$ $(i=1, \; 2, \; 3, \; \cdots, \; 64)$ 라 하자. $n(A_i) \ge 3$ 을 만족시키는 모든 집합 $A_i$ 에 대하여 각 집합의 가장 작은 원소를 모두 더한 값을 구하시오. (단, $n(A)$ 는 집합 $A$ 의 원소의 개수이다.) 정답 $144$ 이 문제는 최소인 원소가 $2$, $2^2$, $2^3$, $2^4$ 일 때로 나누어 풀면 됩니다. 1. 최소인 원소가 $2$ 인 경우 원소의 개수가 $3$ 개인 부분집합의 개수는 $2$ 보다 큰 원소 $5$ 개 중 $2$ 개만 선택하면 되므로 ${}_5{\rm C}_2$ 원소의 개수가 $4$ ..

함수 $f(x)=x^3-12x$ 와 실수 $t$ 에 대하여 점 $(a, \; f(a))$ 를 지나고 기울기가 $t$ 인 직선이 함수 $y=|f(x)|$ 의 그래프와 만나는 점의 개수를 $g(t)$ 라 하자. 함수 $g(t)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. 함수 $g(t)$ 가 $t=k$ 에서 불연속이 되는 $k$ 의 값 중에서 가장 작은 값은 $0$ 이다. $\sum \limits_{n=1}^{36} g(n)$ 의 값을 구하시오. 정답 $82$

그림과 같이 좌표평면 위에 중심이 $\rm O(0, \; 0)$ 이고 점 ${\rm A}(1, \; 0)$ 을 지나는 원 $C_1$ 위의 제1사분면 위의 점을 $\rm P$ 라 하자. 점 $\rm P$ 를 원점에 대칭시킨 점을 $\rm Q$ , $x$ 축에 대하여 대칭이동시킨 점을 $\rm R$ 라 하자. 선분 $\rm QR$ 를 지름으로 하는 원 $C_2$ 와 두 선분 $\rm PQ, \; AQ$ 와의 교점을 각각 $\rm M, \; N$ 이라 하자. $\angle \rm OPA = \theta$ 라 할 때, 두 삼각형 $\rm MQN, \; PNR$ 의 넓이를 각각 $S(\theta), \; T(\theta)$ 라 하자. $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{\theta^..

그림과 같이 평면 위에 $\overline{\rm OA}=2\sqrt{11}$ 을 만족하는 두 점 $\rm O, \; A$ 와 점 $\rm O$ 를 중심으로 하고 반지름의 길이가 각각 $\sqrt{5}, \; \sqrt{14}$ 인 두 원 $C_1, \; C_2$ 가 있다. 원 $C_1$ 위의 서로 다른 두 점 $\rm P, \; Q$ 와 원 $C_2$ 위의 점 $\rm R$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 양수 $k$ 에 대하여 $\overrightarrow{\rm PQ}=k \overrightarrow{\rm QR}$(나) $\overrightarrow{\rm PQ} \cdot \overrightarrow{\rm AR} = 0$ 이고 $\overline{\rm PQ}:\overline{\rm AR..

$ab0)$ 에 대하여 부등식 $$g(x)-k \ge xf(x)$$ 를 만족시키는 양의 실수 $x$ 가 존재할 때, 이 $x$ 의 값 중 최솟값을 $h(k)$ 라 하자. 함수 $g(x)$ 와 $h(k)$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $g(x)$ 는 극댓값 $\alpha$ 를 갖고 $h(\alpha)=2$ 이다.(나) $h(k)$ 의 값이 존재하는 $k$ 의 최댓값은 $8e^{-2}$ 이다. $100 \left (a^2 + b^2 \right )$ 의 값을 구하시오. $\left ( 단, \; \lim \limits_{x \to \infty} f(x)=0 \right )$ 정답 $125$

$xy$ 평면 위의 직선 $x=1$ 위의 임의의 점을 $\rm P$, 두 구 $$\begin{aligned} (x+1)^2+y^2+(z-4)^2 &=1, \\[10pt] (x-9)^2+(y-10)^2+(z+4)^2&=1\end{aligned} $$ 위의 임의의 점을 각각 $\rm Q, R$ 이라 하자. 이때 $\overline{\rm PQ}+\overline{\rm PR}$ 의 최솟값을 $m$ 이라 할 때, $(m+2)^2$ 의 값을 구하시오. 정답 $280$