수악중독

두 삼차함수 $f(x)$ 와 $g(x)$ 가 모든 실수 $x$ 에 대하여 $$f(x)g(x)=(x-1)^2(x-2)^2(x-3)^2$$ 을 만족시킨다. $g(x)$ 의 최고차항의 계수가 $3$ 이고, $g(x)$ 가 $x=2$ 에서 극댓값을 가질 때, $f'(0)=\dfrac{q}{p}$이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $10$

두 함수 $f(x)$ 와 $g(x)$ 가 $$f(x)=\left \{ \begin{array}{ll} 0 & (x \le 0) \\ x & (x>0) \end{array} \right . , \;\; g(x) = \left \{ \begin{array}{ll} x(2-x) & (|x-1| \le 1) \\0 & (|x-1| > 1) \end{array} \right .$$ 이다. 양의 실수 $k, \; a, \; b \;\;(a

수열 $\{a_n\}$ 이 $$a_1=-1, \;\; a_n=2-\dfrac{1}{2^{n-2}}\;\; (n\ge 2)$$ 이다. 구간 $[-1, \; 2)$ 에서 정의된 함수 $f(x)$ 가 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$f(x)=\sin \left ( 2^n \pi x \right ) \;\; (a_n \le x \le a_{n+1})$$ 이다. $-1

좌표공간에서 세 점 ${\rm O}(0, \; 0, \; 0), \; {\rm A}(1, \; 0, \; 0), \; {\rm B}(0, \; 0, \; 2)$ 가 있다. 점 $ \rm P$ 가 $\overrightarrow{\rm OB} \cdot \overrightarrow{\rm OP}=0$ , $\left | \overrightarrow{\rm OP} \right | \le 4$ 를 만족시키며 움직일 때, $\left | \overrightarrow{\rm PQ} \right | = 1,\;\; \overrightarrow{\rm PQ}\cdot \overrightarrow{\rm OA} \ge \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 을 만족시키는 점 $\rm Q$ 에 대하여 $\left | \ov..

함수 $f(x)=\ln \left ( e^x +1 \right ) + 2e^x$ 에 대하여 이차함수 $g(x)$ 와 실수 $k$ 는 다음 조건을 만족시킨다. 함수 $h(x)=|g(x)-f(x-k)|$ 는 $x=k$ 에서 최솟값 $g(k)$ 를 갖고, 닫힌 구간 $[k-1, \; k+1]$ 에서 최댓값 $2e+\ln \left ( \dfrac{1+e}{\sqrt{2}} \right )$ 를 갖는다. $g' \left ( k-\dfrac{1}{2} \right )$ 의 값을 구하시오. (단, $\dfrac{5}{2} < e < 3$ 이다.) 정답 $6$

에르미트 항등식 (Hermite's identity)임의의 실수 $x$ 와 임의의 자연수 $n$ 에 대하여 다음의 식이 항상 성립한다.$$\sum \limits_{k=0}^{n-1} \left [ x+ \dfrac{k}{n} \right ] = [nx]$$위의 항등식을 에르미트 항등식 (Hermite's identity)라고 한다. 예제 1) 실수 $x$ 에 대하여 다음 식이 성립할 때, $[100x]$ 의 값을 구하시오. (단, $[x]$ 는 $x$ 를 넘지 않는 최대의 정수)$$\left [ x+ \dfrac{19}{100} \right ] + \left [ x+ \dfrac{20}{100} \right ] + \cdots + \left [ x + \dfrac{91}{100} \right ] = 54..

실수 전체의 집합에서 이계도함수가 존재하는 함수 $f(x)$ 와 그 역함수 $g(x)$ 에 대하여 함수 $h(x)$ 를 $$h(x) = \displaystyle \int_x^{g(x)} f(t) \; dt$$ 라 하자. 두 함수 $f(x)$ 와 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f'(x)>0$ 이고, $f''(2)

함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $0 \le x