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목록2017/05/30 (8)
수악중독
실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x)1$ 인 임의의 실수 $t$ 에 대하여 네 점 $(t, \; 0)$, $(2-t, \; 0)$, $(t, \; f(t))$ , $(2-t, \; f(2-t))$ 를 꼭짓점으로 하는 사각형의 넓이가 $(t-1)e^t$ 이다. $\displaystyle \int_{-1}^3 f(x)\; dx$ 의 값은? ① $e-e^3 \sqrt{e}$ ② $e-e^3$ ③ $ e-e^2 \sqrt{e}$ ④ $e-e^2$ ⑤ $e-e\sqrt{e}$ 정답 ②
열린구간 $\left (- \dfrac{\pi}{2}, \; \dfrac{\pi}{2} \right )$ 에서 정의된 두 함수 $f(x)=\sin x$, $g(x)=2x^2+4x$ 가 있다. 합성함수 $(g \circ f)(x)$ 의 역함수를 $h(x)$ 라 할 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $h(0)=0$ ㄴ. $h'(0)=\dfrac{1}{4}$ ㄷ. $\lim \limits_{x \to a} \dfrac{h \left ( \cos ^2 3x \right ) -3a}{x-a}$ 의 값이 존재하도록 하는 실수 $a$ 의 개수는 $3$ 이다. ①ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③
좌표평면에서 세 직선 $l, \; m, \; n$ 위의 임의의 점을 각각 $\rm P, \; Q, \; R$ 이라 하자. 원점 $\rm O$ 를 시점으로 하는 세 점 $\rm P, \; Q, \; R$ 의 위치벡터를 각각 $\overrightarrow{p}, \; \overrightarrow{q},\; \overrightarrow{r}$ 라 할 때, 원점 $\rm O$ 를 시점으로 하는 두 위치벡터 $\overrightarrow{a}, \; \overrightarrow{b}$ 에 대하여 $$\begin{aligned} \overrightarrow{p} &= t \overrightarrow{a} + (1-t) \overrightarrow{b} \;\; (t는 \; 실수) \\ \overrightarrow{..
열린 구간 $\left ( - \dfrac{\pi}{2}, \; \dfrac{\pi}{2} \right )$ 에서 미분가능하고 $f(0)=1$ 인 함수 $f(x)$ 가 $- \dfrac{\pi}{2} 0$(나) $\left ( \dfrac{1}{f(x) \cos x} \right )^{\prime} = \dfrac{x}{\cos x}$ $g(x) = \displaystyle \int_0^x \dfrac{\tan t}{f(t)} \; dt$ 라 할 때, $g(4) + \dfrac{1}{f(4)}$ 의 값을 구하시오. 정답 $9$
자연수 $n$ 에 대하여 집합 $S(n)$ 을 $$S(n)=\{ (x, \; y) \; | \; y-n \le x+6 \le 12, \; x, \; y는\; 자연수 \}$$라 할 때, 다음 조건을 만족시키는 정사각형의 개수를 $a_n$ 이라 하자. (가) 정사각형의 네 꼭짓점은 집합 $S(n)$ 의 원소이다. (나) 정사각형의 네 변은 좌표축과 각각 평행하다. $\sum \limits_{n=1}^6 a_n$ 의 값을 구하시오. 정답 $855$
집합 $\{ x\; | \; x $ 는 $-1$이 아닌 실수$\}$ 에서 정의된 함수 $$f(x)=\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{ax^{n+1}+1}{x^{n-1}+a}\;\; (단, \; a 는 \; 1이 \; 아닌 \; 양의 \; 상수)$$가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 방정식 $f(x)=1$ 은 서로 다른 세 실근을 갖는다. (나) $\lim \limits_{x \to 1-} f(x) + \lim \limits_{x \to 1+} f(x) = \dfrac{10}{3}$ $\lim \limits_{x \to -1+} f(x)$ 의 값은? ① $2$ ② $\dfrac{7}{3}$ ③ $\dfrac{8}{3}$ ④ $3$ ⑤ $\dfrac{10}{3}$ 정답 ④
최고차항의 계수가 $-1$ 인 사차함수 $f(x)$ 와 함수 $$g(x)= \left | \; \sin |x| + \cos x + 2x - \dfrac{k}{5}\; \right |$$ 가 다음 조건을 만족한다. (가) 함수 $|f(x)+k|$ 는 한 점에서만 미분가능하지 않다. (나) 함수 $f(g(x))$ 가 실수 전체의 집합에서 미분가능하다. (다) $f(g(0))=10$ 함수 $f(x)$ 의 극댓값이 $\alpha$ 또는 $\beta$ 일 때, $\alpha + \beta$ 의 값을 구하시오. 정답 $47$
그림과 같이 한 변의 길이가 $2$ 인 정삼각형 $\rm ABC$ 를 밑면으로 하고 $\overline{\rm OA}= \overline{\rm OB}=\overline{\rm OC}=\sqrt{3}$ 인 정삼각뿔 $\rm O-ABC$ 가 있다. 정삼각형 $\rm ABC$ 에 내접하는 원을 밑면으로 하는 반구와 평면 $\rm OAB$ 가 만나서 생기는 도형을 $C$ 라 하고, 정삼각형 $\rm ABC$ 에 내접하는 원의 중심을 $\rm H$ 라 하자. 도형 $C$ 의 경계 또는 내부의 점 $\rm P$ 와 선분 $\rm OC$ 를 $2:1$ 로 내분하는 점 $\rm Q$ 에 대하여 $\overrightarrow{\rm HP} \cdot \overrightarrow{\rm QH}$ 의 최솟값은 $\dfra..